Номер 5.12, страница 106 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.12, страница 106.

Условие.

5.12. В наборе радиодеталей имеются катушки индуктивностью $L_1 = 0,5 \text{ мкГн}$, $L_2 = 1 \text{ мкГн}$, $L_3 = 2 \text{ мкГн}$, а также конденсаторы, ёмкость которых $C_1 = 20 \text{ пФ}$, $C_2 = 30 \text{ пФ}$, $C_3 = 40 \text{ пФ}$. Из имеющихся деталей нужно построить колебательный контур. При каком выборе деталей и их соединении собственная частота колебаний будет:

а) наибольшей;

б) наименьшей?

Активным сопротивлением катушек пренебречь.

Решение.

Дано:

$L_1 = 0,5 \text{ мкГн} = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

$L_2 = 1 \text{ мкГн} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

$L_3 = 2 \text{ мкГн} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

$C_1 = 20 \text{ пФ} = 20 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$C_2 = 30 \text{ пФ} = 30 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$C_3 = 40 \text{ пФ} = 40 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Найти:

а) Условия для получения наибольшей собственной частоты колебаний $f_{max}$.

б) Условия для получения наименьшей собственной частоты колебаний $f_{min}$.

Решение:

Собственная частота колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Из этой формулы следует, что частота колебаний $\text{f}$ обратно пропорциональна квадратному корню из произведения индуктивности $\text{L}$ и ёмкости $\text{C}$. Следовательно, для получения максимальной частоты необходимо, чтобы произведение $\text{LC}$ было минимальным, а для получения минимальной частоты — максимальным.

а) наибольшей

Для получения наибольшей частоты $f_{max}$ необходимо обеспечить минимальное значение произведения $\text{LC}$. Это достигается при минимально возможной индуктивности $L_{min}$ и минимально возможной ёмкости $C_{min}$.

Минимальная общая индуктивность достигается при параллельном соединении всех имеющихся катушек:

$\frac{1}{L_{min}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} = \frac{1}{0,5 \cdot 10^{-6}} + \frac{1}{1 \cdot 10^{-6}} + \frac{1}{2 \cdot 10^{-6}} = (2 + 1 + 0,5) \cdot 10^6 = 3,5 \cdot 10^6 \text{ Гн}^{-1}$

$L_{min} = \frac{1}{3,5 \cdot 10^6} \approx 0,286 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Минимальная общая ёмкость достигается при последовательном соединении всех имеющихся конденсаторов:

$\frac{1}{C_{min}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{20 \cdot 10^{-12}} + \frac{1}{30 \cdot 10^{-12}} + \frac{1}{40 \cdot 10^{-12}} = (\frac{6+4+3}{120}) \cdot 10^{12} = \frac{13}{120} \cdot 10^{12} \text{ Ф}^{-1}$

$C_{min} = \frac{120}{13} \cdot 10^{-12} \approx 9,23 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Теперь вычислим наибольшую частоту:

$f_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{min}C_{min}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,286 \cdot 10^{-6} \cdot 9,23 \cdot 10^{-12}}} \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{2,64 \cdot 10^{-18}}} \approx \frac{1}{6,28 \cdot 1,625 \cdot 10^{-9}} \approx 9,8 \cdot 10^7 \text{ Гц} = 98 \text{ МГц}$

Ответ: Наибольшая собственная частота колебаний будет при параллельном соединении всех трех катушек и последовательном соединении всех трех конденсаторов. $f_{max} \approx 98 \text{ МГц}$.

б) наименьшей

Для получения наименьшей частоты $f_{min}$ необходимо обеспечить максимальное значение произведения $\text{LC}$. Это достигается при максимально возможной индуктивности $L_{max}$ и максимально возможной ёмкости $C_{max}$.

Максимальная общая индуктивность достигается при последовательном соединении всех имеющихся катушек:

$L_{max} = L_1 + L_2 + L_3 = 0,5 \cdot 10^{-6} + 1 \cdot 10^{-6} + 2 \cdot 10^{-6} = 3,5 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Максимальная общая ёмкость достигается при параллельном соединении всех имеющихся конденсаторов:

$C_{max} = C_1 + C_2 + C_3 = 20 \cdot 10^{-12} + 30 \cdot 10^{-12} + 40 \cdot 10^{-12} = 90 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Теперь вычислим наименьшую частоту:

$f_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{max}C_{max}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{3,5 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-12}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{315 \cdot 10^{-18}}} \approx \frac{1}{6,28 \cdot 17,75 \cdot 10^{-9}} \approx 8,97 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 8,97 \text{ МГц}$

Ответ: Наименьшая собственная частота колебаний будет при последовательном соединении всех трех катушек и параллельном соединении всех трех конденсаторов. $f_{min} \approx 8,97 \text{ МГц}$.