Номер 5.15, страница 106 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.15, страница 106.

Условие.

5.15. Какой должна быть ёмкость конденсатора C2 в колебательном контуре (см. рис. 5.3), чтобы при переводе ключа K из положения 1 в положение 2 период собственных колебаний в контуре уменьшился в 3 раза?

Рис. 5.3

Решение.

Дано:

$\frac{T_1}{T_2} = 3$

Найти:

$C_2$

Решение:

Период собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC_{общ}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $C_{общ}$ – общая (эквивалентная) ёмкость конденсаторов в контуре.

Рассмотрим два положения ключа К.

1. Когда ключ находится в положении 1, конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединены параллельно. При параллельном соединении общая ёмкость равна сумме ёмкостей:

$C_{общ1} = C_1 + C_2$

Тогда период колебаний в контуре для этого случая будет равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}$

2. Когда ключ находится в положении 2, к катушке индуктивности подключен только конденсатор $C_1$. Общая ёмкость контура в этом случае равна ёмкости этого конденсатора:

$C_{общ2} = C_1$

Период колебаний в контуре для второго случая будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_1}$

По условию задачи, при переводе ключа из положения 1 в положение 2 период колебаний уменьшился в 3 раза. Это означает, что $T_1$ в 3 раза больше, чем $T_2$:

$T_1 = 3T_2$

Подставим в это соотношение выражения для периодов $T_1$ и $T_2$:

$2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)} = 3 \cdot 2\pi\sqrt{LC_1}$

Сократим обе части уравнения на $2\pi\sqrt{L}$ (поскольку $L \neq 0$):

$\sqrt{C_1 + C_2} = 3\sqrt{C_1}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{C_1 + C_2})^2 = (3\sqrt{C_1})^2$

$C_1 + C_2 = 9C_1$

Теперь выразим ёмкость $C_2$ через $C_1$:

$C_2 = 9C_1 - C_1$

$C_2 = 8C_1$

Ответ: Ёмкость конденсатора $C_2$ должна быть в 8 раз больше ёмкости конденсатора $C_1$, то есть $C_2 = 8C_1$.