Номер 5.21, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.21, страница 107.

Условие.

5.21*. Период колебаний в колебательном контуре 10 мкс. При подключении параллельно конденсатору контура дополнительного конденсатора ёмкостью $3 \cdot 10^{-8}$ Ф период колебаний увеличился в 2 раза. Определите:

а) индуктивность катушки;

б) ёмкость конденсатора контура.

Решение.

Дано:

Начальный период колебаний $T_1 = 10 \text{ мкс}$

Ёмкость дополнительного конденсатора $C_2 = 3 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Соотношение периодов $\frac{T_2}{T_1} = 2$

Перевод в систему СИ:

$T_1 = 10 \text{ мкс} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 10^{-5} \text{ с}$

Найти:

а) $L - ?$

б) $C_1 - ?$

Решение:

а) индуктивность катушки

Период электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Для того чтобы найти индуктивность катушки $\text{L}$ по этой формуле, необходимо знать начальную ёмкость конденсатора контура $C_1$. Таким образом, сначала определим $C_1$, используя данные об изменении периода.

Период колебаний для начального состояния контура:

$T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1}$ (1)

При параллельном подключении дополнительного конденсатора $C_2$ общая ёмкость становится равной сумме ёмкостей: $C_{общ} = C_1 + C_2$. Новый период колебаний $T_2$ равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}$ (2)

По условию задачи, $T_2 = 2T_1$. Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_1}}$

Подставим известное соотношение периодов $\frac{T_2}{T_1} = 2$:

$2 = \sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_1}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$4 = \frac{C_1+C_2}{C_1} = 1 + \frac{C_2}{C_1}$

Отсюда находим соотношение между ёмкостями:

$3 = \frac{C_2}{C_1} \implies C_1 = \frac{C_2}{3}$

Подставив значение $C_2$, находим ёмкость $C_1$ (что является ответом на пункт б):

$C_1 = \frac{3 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}}{3} = 1 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$.

Теперь, зная $C_1$, мы можем найти индуктивность $\text{L}$ из формулы (1):

$T_1^2 = 4\pi^2LC_1 \implies L = \frac{T_1^2}{4\pi^2C_1}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{(10^{-5} \text{ с})^2}{4\pi^2(1 \cdot 10^{-8} \text{ Ф})} = \frac{10^{-10}}{4\pi^2 \cdot 10^{-8}} \text{ Гн} = \frac{10^{-2}}{4\pi^2} \text{ Гн}$.

Принимая $\pi^2 \approx 9.87$, получаем:

$L \approx \frac{0.01}{4 \cdot 9.87} \text{ Гн} \approx \frac{0.01}{39.48} \text{ Гн} \approx 2.53 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}$.

Ответ: индуктивность катушки равна $2.53 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}$ (или 0.253 мГн).

б) ёмкость конденсатора контура

Ёмкость конденсатора контура $C_1$ была определена в ходе решения пункта а). Из соотношения периодов было получено, что:

$C_1 = \frac{C_2}{3}$

Подставим значение $C_2 = 3 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$:

$C_1 = \frac{3 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}}{3} = 1 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$.

Ответ: ёмкость конденсатора контура равна $1 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$ (или 10 нФ).