Номер 5.23, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.23, страница 107.

Условие.

5.23. Собственная частота электромагнитных колебаний в колебательном контуре 12 МГц. Определите ёмкость конденсатора контура, если в катушке индуктивности этого контура при равномерном изменении силы тока на 5 мА за 2 мкс наводится ЭДС самоиндукции 2 мВ.

Решение.

Дано:

Собственная частота колебаний $\nu = 12 \text{ МГц} = 12 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Изменение силы тока $\Delta I = 5 \text{ мА} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Промежуток времени $\Delta t = 2 \text{ мкс} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si} = 2 \text{ мВ} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

Найти:

Ёмкость конденсатора $\text{C}$

Решение:

Собственная частота электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

Из этой формулы выразим искомую ёмкость $\text{C}$:

$(2\pi\nu)^2 = \frac{1}{LC}$

$C = \frac{1}{4\pi^2\nu^2 L}$

Для вычисления ёмкости необходимо найти индуктивность катушки $\text{L}$. Мы можем определить её из данных об ЭДС самоиндукции. Величина ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке при изменении силы тока, связана с индуктивностью по формуле:

$\mathcal{E}_{si} = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$

Выразим индуктивность $\text{L}$ из этого соотношения:

$L = \frac{\mathcal{E}_{si} \cdot \Delta t}{\Delta I}$

Подставим числовые значения в систему СИ и рассчитаем индуктивность:

$L = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ В} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ с}}{5 \cdot 10^{-3} \text{ А}} = \frac{4 \cdot 10^{-9}}{5 \cdot 10^{-3}} \text{ Гн} = 0.8 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Теперь, зная индуктивность $\text{L}$, мы можем рассчитать ёмкость конденсатора $\text{C}$:

$C = \frac{1}{4\pi^2\nu^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 (12 \cdot 10^6 \text{ Гц})^2 \cdot (0.8 \cdot 10^{-6} \text{ Гн})}$

$C = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 144 \cdot 10^{12} \text{ Гц}^2 \cdot 0.8 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 115.2 \cdot 10^6} \text{ Ф}$

Используя приближённое значение $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$C \approx \frac{1}{4 \cdot 9.87 \cdot 115.2 \cdot 10^6} \approx \frac{1}{4547.9 \cdot 10^6} \text{ Ф} \approx 0.2198 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Переведём результат в пикофарады ($1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$):

$C \approx 0.22 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 220 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 220 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора контура составляет приблизительно $220 \text{ пФ}$.