Номер 5.30, страница 108 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.30, страница 108.

Условие.

5.30. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 0,4 мкФ и катушки индуктивностью 4 Гн. Амплитуда колебаний заряда конденсатора 100 мкКл. Напишите уравнение зависимости от времени для:

а) заряда конденсатора $q=q(t)$;

б) напряжения на обкладках конденсатора $u=u(t)$;

в) силы тока $i=i(t)$.

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 0,4 \text{ мкФ} = 0.4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Индуктивность катушки, $L = 4 \text{ Гн}$

Амплитуда колебаний заряда, $q_m = 100 \text{ мкКл} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-4} \text{ Кл}$

Найти:

а) $q = q(t)$

б) $u = u(t)$

в) $i = i(t)$

Решение:

Колебания заряда, напряжения и силы тока в идеальном колебательном контуре являются гармоническими. Уравнение, описывающее изменение заряда на обкладках конденсатора со временем, в общем виде выглядит так:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ — амплитуда заряда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Поскольку начальные условия не заданы, примем наиболее простой случай, когда в момент времени $t=0$ заряд на конденсаторе максимален. Это означает, что начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Циклическую частоту собственных колебаний в контуре найдём по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим данные из условия задачи:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{4 \text{ Гн} \cdot 0.4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{1.6 \cdot 10^{-6} \text{ с}^2}} = \frac{1}{1.265 \cdot 10^{-3} \text{ с}} \approx 790,6 \text{ рад/с}$

а) заряда конденсатора q = q(t)

Теперь мы можем записать уравнение зависимости заряда от времени, подставив в общую формулу значения амплитуды $q_m$ и циклической частоты $\omega$.

$q(t) = 10^{-4} \cos(790,6 t)$

Здесь и далее все величины выражены в системе СИ (заряд в Кулонах, время в секундах).

Ответ: $q(t) = 10^{-4} \cos(790,6 t)$ Кл.

б) напряжения на обкладках конденсатора u = u(t)

Напряжение на конденсаторе прямо пропорционально заряду: $u(t) = \frac{q(t)}{C}$.

Следовательно, уравнение для напряжения будет иметь вид, аналогичный уравнению для заряда:

$u(t) = \frac{q_m}{C} \cos(\omega t) = U_m \cos(\omega t)$

Найдём амплитуду напряжения $U_m$:

$U_m = \frac{q_m}{C} = \frac{10^{-4} \text{ Кл}}{0.4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{100}{0.4} \text{ В} = 250 \text{ В}$

Запишем уравнение для напряжения:

$u(t) = 250 \cos(790,6 t)$ (напряжение в Вольтах).

Ответ: $u(t) = 250 \cos(790,6 t)$ В.

в) силы тока i = i(t)

Сила тока в контуре — это первая производная заряда по времени: $i(t) = q'(t)$.

$i(t) = \frac{d}{dt} (q_m \cos(\omega t)) = -q_m \omega \sin(\omega t)$

Это уравнение показывает, что колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на $\frac{\pi}{2}$ ($-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$).

Найдём амплитуду силы тока $I_m$:

$I_m = q_m \omega = 10^{-4} \text{ Кл} \cdot 790,6 \text{ рад/с} \approx 0,079 \text{ А}$

Запишем уравнение для силы тока:

$i(t) = -0,079 \sin(790,6 t)$ (сила тока в Амперах).

Ответ: $i(t) = -0,079 \sin(790,6 t)$ А.