Номер 5.32, страница 108 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.32, страница 108.

Условие.

5.32. Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью 10 мГн, меняется по закону $i = 0,01\sin 10^4\pi t$ (А). Найдите:

а) амплитуду силы тока;

б) период, частоту и циклическую частоту колебаний;

в) амплитудные значения заряда и напряжения на конденсаторе;

г) ёмкость конденсатора;

д) уравнение зависимости заряда конденсатора от времени;

е) уравнение зависимости напряжения на обкладках конденсатора от времени.

Решение.

Дано

$L = 10 \text{ мГн} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0.01 \text{ Гн}$

$i(t) = 0.01 \sin(10^4\pi t) \text{ (А)}$

Найти:

а) $I_m - ?$

б) $T - ?, \nu - ?, \omega - ?$

в) $q_m - ?, U_m - ?$

г) $C - ?$

д) $q(t) - ?$

е) $u(t) - ?$

Решение

а) Уравнение колебаний силы тока в общем виде записывается как $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — амплитуда силы тока. Сравнивая это выражение с данным в условии уравнением $i = 0.01 \sin(10^4\pi t)$, мы можем определить амплитуду силы тока как коэффициент перед синусом.

Ответ: $I_m = 0.01 \text{ А}$.

б) Из сравнения общего уравнения $i = I_m \sin(\omega t)$ с данным $i = 0.01 \sin(10^4\pi t)$ находим циклическую (угловую) частоту $\omega$ как множитель при времени $\text{t}$ под знаком синуса.

$\omega = 10^4\pi \text{ рад/с}$.

Частота колебаний $\nu$ связана с циклической частотой соотношением $\omega = 2\pi\nu$. Отсюда:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10^4\pi}{2\pi} = 5000 \text{ Гц} = 5 \text{ кГц}$.

Период колебаний $\text{T}$ — это величина, обратная частоте: $T = \frac{1}{\nu}$.

$T = \frac{1}{5000} = 0.0002 \text{ с} = 0.2 \text{ мс}$.

Ответ: Циклическая частота $\omega = 10^4\pi \text{ рад/с}$, частота $\nu = 5000 \text{ Гц}$, период $T = 0.0002 \text{ с}$.

в) Амплитуда силы тока $I_m$ и амплитуда заряда $q_m$ связаны соотношением $I_m = q_m \cdot \omega$. Выразим отсюда амплитуду заряда:

$q_m = \frac{I_m}{\omega} = \frac{0.01}{10^4\pi} = \frac{10^{-2}}{10^4\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \approx 3.18 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$.

Амплитуда напряжения на конденсаторе $U_m$ в идеальном колебательном контуре равна амплитуде напряжения на катушке индуктивности. Амплитуда напряжения на катушке $U_{L,m}$ определяется по формуле $U_{L,m} = L \cdot I_m \cdot \omega$.

$U_m = U_{L,m} = 0.01 \cdot 0.01 \cdot 10^4\pi = 10^{-2} \cdot 10^{-2} \cdot 10^4\pi = \pi \text{ В} \approx 3.14 \text{ В}$.

Ответ: Амплитуда заряда $q_m = \frac{1}{\pi} \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$, амплитуда напряжения $U_m = \pi \text{ В}$.

г) Циклическая частота свободных колебаний в контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$. Возведём обе части в квадрат, чтобы выразить ёмкость $\text{C}$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies C = \frac{1}{\omega^2 L}$.

$C = \frac{1}{(10^4\pi)^2 \cdot 0.01} = \frac{1}{10^8\pi^2 \cdot 10^{-2}} = \frac{1}{10^6\pi^2} \text{ Ф} = \frac{1}{\pi^2} \text{ мкФ} \approx 0.1 \text{ мкФ}$.

Ответ: Ёмкость конденсатора $C = \frac{1}{10^6\pi^2} \text{ Ф}$.

д) Сила тока является первой производной заряда по времени: $i(t) = q'(t)$. Следовательно, чтобы найти зависимость заряда от времени $q(t)$, нужно взять интеграл от функции силы тока $i(t)$:

$q(t) = \int i(t) dt = \int 0.01 \sin(10^4\pi t) dt = -\frac{0.01}{10^4\pi} \cos(10^4\pi t) = -\frac{10^{-6}}{\pi} \cos(10^4\pi t)$.

Колебания заряда отстают по фазе от колебаний тока на $\frac{\pi}{2}$, что соответствует функции $-\cos(\omega t)$, если ток изменяется по закону $\sin(\omega t)$.

Ответ: $q(t) = -\frac{10^{-6}}{\pi} \cos(10^4\pi t) \text{ (Кл)}$.

е) Напряжение на обкладках конденсатора $u(t)$ прямо пропорционально заряду на них: $u(t) = \frac{q(t)}{C}$.

Подставим найденные ранее выражения для $q(t)$ и $\text{C}$:

$u(t) = \frac{-\frac{10^{-6}}{\pi} \cos(10^4\pi t)}{\frac{1}{10^6\pi^2}} = -\frac{10^{-6}}{\pi} \cdot (10^6\pi^2) \cos(10^4\pi t) = -\pi \cos(10^4\pi t)$.

Ответ: $u(t) = -\pi \cos(10^4\pi t) \text{ (В)}$.