Номер 5.29, страница 108 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.29, страница 108.

Условие.

5.29. Емкость конденсатора колебательного контура 0,4 мкФ, частота собственных колебаний 50 кГц, амплитудное значение заряда 8 мкКл. Найдите:

а) амплитуду напряжения;

б) амплитуду силы тока;

в) индуктивность катушки.

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 0,4 \ мкФ = 0,4 \cdot 10^{-6} \ Ф$

Частота собственных колебаний, $f = 50 \ кГц = 50 \cdot 10^3 \ Гц$

Амплитудное значение заряда, $q_m = 8 \ мкКл = 8 \cdot 10^{-6} \ Кл$

Найти:

а) Амплитуду напряжения, $U_m$

б) Амплитуду силы тока, $I_m$

в) Индуктивность катушки, $\text{L}$

Решение:

а) Амплитуда напряжения на конденсаторе связана с амплитудой заряда и ёмкостью соотношением:

$q_m = C \cdot U_m$

Отсюда выражаем амплитуду напряжения:

$U_m = \frac{q_m}{C}$

Подставим числовые значения:

$U_m = \frac{8 \cdot 10^{-6} \ Кл}{0,4 \cdot 10^{-6} \ Ф} = 20 \ В$

Ответ: $20 \ В$.

б) Сила тока в колебательном контуре является производной заряда по времени. Заряд изменяется по гармоническому закону $q(t) = q_m \cos(\omega t)$, где $\omega$ — циклическая частота. Тогда сила тока $i(t) = q'(t) = -q_m \omega \sin(\omega t)$. Амплитудное значение силы тока равно:

$I_m = q_m \cdot \omega$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ формулой:

$\omega = 2\pi f$

Тогда для амплитуды силы тока получаем:

$I_m = q_m \cdot 2\pi f$

Подставим числовые значения:

$I_m = 8 \cdot 10^{-6} \ Кл \cdot 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \cdot 10^3 \ Гц \approx 2,51 \ А$

Ответ: $2,51 \ А$.

в) Период собственных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Так как частота $f = \frac{1}{T}$, то:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы выразить индуктивность $\text{L}$:

$f^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC}$

$L = \frac{1}{4\pi^2 f^2 C}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{1}{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (50 \cdot 10^3 \ Гц)^2 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6} \ Ф} = \frac{1}{4 \cdot 9,86 \cdot 2500 \cdot 10^6 \ Гц^2 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6} \ Ф} \approx 2,5 \cdot 10^{-5} \ Гн$

Это значение можно выразить в микрогенри: $2,5 \cdot 10^{-5} \ Гн = 25 \ мкГн$.

Ответ: $2,5 \cdot 10^{-5} \ Гн$ или $25 \ мкГн$.