Номер 5.31, страница 108 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.31, страница 108.

Условие.

5.31. Напряжение на обкладках конденсатора ёмкостью 1 мкФ меняется по закону $u = 100\text{cos }500t$ (В). Найдите:

а) период и частоту колебаний в контуре;

б) амплитуду напряжения на конденсаторе;

в) амплитуду заряда конденсатора;

г) индуктивность контура;

д) амплитуду силы тока в контуре;

е) уравнение зависимости заряда конденсатора от времени;

ж) уравнение зависимости силы тока от времени.

Решение.

Дано:

$C = 1 \text{ мкФ}$

$u(t) = 100\cos(500t) \text{ (В)}$

Перевод в систему СИ:

$C = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

а) $T, \nu$

б) $U_m$

в) $q_m$

г) $\text{L}$

д) $I_m$

е) $q(t)$

ж) $i(t)$

Решение:

а) период и частоту колебаний в контуре

Общий вид уравнения гармонических колебаний напряжения: $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$. Сравнивая это уравнение с данным в условии $u = 100\cos(500t)$, мы можем определить циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega$.

$\omega = 500 \text{ рад/с}$.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{500} = \frac{\pi}{250} \text{ с} \approx 0.0126 \text{ с}$.

Частота колебаний $\nu$ - это величина, обратная периоду: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$.

$\nu = \frac{500}{2\pi} = \frac{250}{\pi} \text{ Гц} \approx 79.6 \text{ Гц}$.

Ответ: $T = \frac{\pi}{250} \text{ с} \approx 0.0126 \text{ с}$; $\nu = \frac{250}{\pi} \text{ Гц} \approx 79.6 \text{ Гц}$.

б) амплитуду напряжения на конденсаторе

Амплитуда напряжения $U_m$ — это максимальное значение напряжения, которое равно коэффициенту перед функцией косинуса в уравнении колебаний.

$U_m = 100 \text{ В}$.

Ответ: $U_m = 100 \text{ В}$.

в) амплитуду заряда конденсатора

Заряд на конденсаторе $\text{q}$ связан с напряжением $\text{u}$ и ёмкостью $\text{C}$ соотношением $q = C \cdot u$. Амплитудное (максимальное) значение заряда $q_m$ соответствует амплитудному значению напряжения $U_m$.

$q_m = C \cdot U_m = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 100 \text{ В} = 10^{-4} \text{ Кл}$.

Ответ: $q_m = 10^{-4} \text{ Кл}$ (или 100 мкКл).

г) индуктивность контура

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Выразим из этой формулы индуктивность $\text{L}$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow L = \frac{1}{\omega^2 C}$.

$L = \frac{1}{(500 \text{ рад/с})^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{250000 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0.25} = 4 \text{ Гн}$.

Ответ: $L = 4 \text{ Гн}$.

д) амплитуду силы тока в контуре

Амплитуда силы тока $I_m$ связана с амплитудой заряда $q_m$ и циклической частотой $\omega$ соотношением $I_m = q_m \cdot \omega$.

$I_m = 10^{-4} \text{ Кл} \cdot 500 \text{ рад/с} = 500 \cdot 10^{-4} \text{ А} = 0.05 \text{ А}$.

Ответ: $I_m = 0.05 \text{ А}$ (или 50 мА).

е) уравнение зависимости заряда конденсатора от времени

Зависимость заряда от времени описывается уравнением $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$. Поскольку колебания напряжения происходят по закону косинуса с нулевой начальной фазой, колебания заряда также будут происходить по закону косинуса с нулевой начальной фазой.

$q(t) = 10^{-4} \cos(500t) \text{ (Кл)}$.

Ответ: $q(t) = 10^{-4} \cos(500t) \text{ (Кл)}$.

ж) уравнение зависимости силы тока от времени

Сила тока $i(t)$ в контуре является первой производной заряда $q(t)$ по времени: $i(t) = q'(t)$.

$i(t) = \frac{d}{dt}(10^{-4} \cos(500t)) = 10^{-4} \cdot (-\sin(500t)) \cdot 500 = -500 \cdot 10^{-4} \sin(500t) = -0.05 \sin(500t) \text{ (А)}$.

Это уравнение показывает, что колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда (и напряжения на конденсаторе) на $\frac{\pi}{2}$. Используя тригонометрическую формулу приведения $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$, можно записать уравнение в другом виде:

$i(t) = 0.05 \cos(500t + \frac{\pi}{2}) \text{ (А)}$.

Ответ: $i(t) = -0.05 \sin(500t) \text{ (А)}$ или $i(t) = 0.05 \cos(500t + \frac{\pi}{2}) \text{ (А)}$.