Номер 5.34, страница 109 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.34, страница 109.

Условие.

5.34. Напряжение на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени по закону $u = 0,5\sin 10^4\pi t$ (В). Ёмкость конденсатора 2 мкФ. Найдите:

а) уравнение зависимости заряда от времени;

б) уравнение зависимости силы тока от времени;

в) сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения;

г) индуктивность контура.

Решение.

Дано:

$u(t) = 0,5 \sin(10^4 \pi t)$ В

$C = 2$ мкФ $= 2 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

а) $q(t)$

б) $i(t)$

в) $\Delta\phi$

г) $\text{L}$

Решение:

Из общего вида уравнения колебаний напряжения $u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$ и заданного уравнения $u(t) = 0,5 \sin(10^4 \pi t)$ определим амплитуду напряжения $U_m$ и циклическую частоту $\omega$:

$U_m = 0,5$ В

$\omega = 10^4 \pi$ рад/с

а) уравнение зависимости заряда от времени;

Заряд на конденсаторе $\text{q}$ связан с напряжением на нем $\text{u}$ и ёмкостью $\text{C}$ соотношением $q = C \cdot u$.

Подставим заданное уравнение для напряжения, чтобы найти зависимость заряда от времени:

$q(t) = C \cdot u(t) = (2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (0,5 \sin(10^4 \pi t) \text{ В})$

Амплитуда заряда $q_m$ равна:

$q_m = C \cdot U_m = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 0,5 \text{ В} = 1 \cdot 10^{-6}$ Кл

Таким образом, уравнение зависимости заряда от времени имеет вид:

$q(t) = 10^{-6} \sin(10^4 \pi t)$ (Кл)

Ответ: $q(t) = 10^{-6} \sin(10^4 \pi t)$ Кл.

б) уравнение зависимости силы тока от времени;

Сила тока $\text{i}$ в контуре является первой производной заряда по времени: $i(t) = q'(t)$.

Продифференцируем найденное в пункте а) уравнение для заряда:

$i(t) = \frac{d}{dt}(10^{-6} \sin(10^4 \pi t)) = 10^{-6} \cdot 10^4 \pi \cdot \cos(10^4 \pi t) = 10^{-2} \pi \cos(10^4 \pi t)$ (А)

Амплитуда силы тока $I_m$ равна:

$I_m = q_m \cdot \omega = 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^4 \pi \text{ с}^{-1} = 10^{-2} \pi \text{ А} \approx 0,0314$ А.

Уравнение зависимости силы тока от времени:

$i(t) = 10^{-2} \pi \cos(10^4 \pi t)$ (А)

Ответ: $i(t) = 10^{-2} \pi \cos(10^4 \pi t)$ А.

в) сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения;

Для определения сдвига фаз необходимо сравнить фазы колебаний напряжения и силы тока. Для этого приведём их уравнения к одной тригонометрической функции, например, к синусу.

Уравнение напряжения: $u(t) = 0,5 \sin(10^4 \pi t)$. Фаза колебаний $\phi_u = 10^4 \pi t$.

Уравнение силы тока: $i(t) = 10^{-2} \pi \cos(10^4 \pi t)$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$, получаем:

$i(t) = 10^{-2} \pi \sin(10^4 \pi t + \frac{\pi}{2})$. Фаза колебаний $\phi_i = 10^4 \pi t + \frac{\pi}{2}$.

Сдвиг фаз $\Delta\phi$ равен разности фаз колебаний тока и напряжения:

$\Delta\phi = \phi_i - \phi_u = (10^4 \pi t + \frac{\pi}{2}) - (10^4 \pi t) = \frac{\pi}{2}$

Положительное значение сдвига фаз означает, что колебания силы тока опережают колебания напряжения по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: сдвиг фаз равен $\frac{\pi}{2}$, колебания силы тока опережают колебания напряжения.

г) индуктивность контура.

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Из этой формулы выразим индуктивность $\text{L}$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies L = \frac{1}{\omega^2 C}$

Подставим числовые значения $\omega = 10^4 \pi$ рад/с и $C = 2 \cdot 10^{-6}$ Ф:

$L = \frac{1}{(10^4 \pi)^2 \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^8 \pi^2 \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{200 \pi^2}$ (Гн)

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi^2 \approx 9,87$:

$L \approx \frac{1}{200 \cdot 9,87} = \frac{1}{1974} \approx 5,07 \cdot 10^{-4}$ Гн, что составляет 0,507 мГн.

Ответ: $L = \frac{1}{200 \pi^2}$ Гн $\approx 0,51$ мГн.