Номер 5.41, страница 110 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.41, страница 110.

Условие.

5.41. Напряжение на обкладках конденсатора колебательного контура изменяется по закону $u = 40\sin 10^3t \text{ (В)}$, а заряд $q = 0,2 \cdot 10^{-3}\sin 10^3t \text{ (Кл)}$. Найдите индуктивность катушки.

Решение.

Дано:

Закон изменения напряжения на конденсаторе: $u = 40\sin(10^3t)$ (В)

Закон изменения заряда на конденсаторе: $q = 0,2 \cdot 10^{-3}\sin(10^3t)$ (Кл)

Из уравнений следует:

Амплитудное значение напряжения $U_m = 40$ В

Амплитудное значение заряда $Q_m = 0,2 \cdot 10^{-3}$ Кл

Циклическая частота колебаний $\omega = 10^3$ рад/с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Индуктивность катушки $\text{L}$.

Решение:

Заряд на обкладках конденсатора $\text{q}$ связан с напряжением на нем $\text{u}$ и его электроемкостью $\text{C}$ соотношением:

$q = C \cdot u$

Это же соотношение справедливо и для амплитудных (максимальных) значений заряда $Q_m$ и напряжения $U_m$:

$Q_m = C \cdot U_m$

Из этой формулы мы можем выразить и найти емкость конденсатора:

$C = \frac{Q_m}{U_m}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$C = \frac{0,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}}{40 \text{ В}} = 0,005 \cdot 10^{-3} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы выразить искомую индуктивность $\text{L}$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC}$

$L = \frac{1}{\omega^2 C}$

Теперь подставим известные значения циклической частоты и найденной емкости:

$L = \frac{1}{(10^3 \text{ рад/с})^2 \cdot 5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{10^6 \cdot 5 \cdot 10^{-6}} \text{ Гн} = \frac{1}{5} \text{ Гн} = 0,2 \text{ Гн}$

Ответ: индуктивность катушки равна $0,2$ Гн.