Номер 5.46, страница 111 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.46, страница 111.

Условие.

5.46*. Амплитуда напряжения в контуре 100 В, частота колебаний 5 МГц. Через какое наименьшее время после достижения амплитудного значения напряжения будет 71 В?

Решение.

Дано:

Амплитуда напряжения, $U_m = 100 \text{ В}$
Частота колебаний, $f = 5 \text{ МГц}$
Мгновенное значение напряжения, $U = 71 \text{ В}$

$f = 5 \text{ МГц} = 5 \times 10^6 \text{ Гц}$

Найти:

Наименьшее время, $\text{t}$

Решение:

Колебания напряжения в контуре являются гармоническими. Зависимость напряжения от времени можно описать уравнением:$U(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$где $U_m$ — амплитуда напряжения, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

По условию задачи, отсчет времени начинается с момента, когда напряжение достигает своего амплитудного (максимального) значения. Это означает, что в начальный момент времени ($t=0$) напряжение было максимальным: $U(0) = U_m$. Подставим это в уравнение:$U_m = U_m \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0) \implies \cos(\phi_0) = 1$Отсюда следует, что начальная фаза $\phi_0 = 0$. Таким образом, уравнение колебаний для данного случая принимает вид:$U(t) = U_m \cos(\omega t)$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ соотношением:$\omega = 2\pi f$Подставим значение частоты из условия:$\omega = 2\pi \cdot 5 \times 10^6 \text{ Гц} = 10\pi \times 10^6 \text{ рад/с} = \pi \times 10^7 \text{ рад/с}$

Теперь найдем момент времени $\text{t}$, когда напряжение станет равным $U = 71 \text{ В}$. Подставим известные значения в уравнение колебаний:$71 = 100 \cos(\omega t)$

Выразим косинус из этого уравнения:$\cos(\omega t) = \frac{71}{100} = 0.71$

Заметим, что значение $0.71$ очень близко к табличному значению $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. В учебных задачах для упрощения расчетов часто используются такие приближения. Будем считать, что $\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Мы ищем наименьшее время, значит, нам нужно найти наименьшее положительное значение аргумента $(\omega t)$, при котором косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим значением является $\frac{\pi}{4}$.$\omega t = \frac{\pi}{4}$

Теперь выразим время $\text{t}$:$t = \frac{\pi}{4\omega}$

Подставим ранее найденное значение циклической частоты $\omega$:$t = \frac{\pi}{4(\pi \times 10^7 \text{ с}^{-1})} = \frac{1}{4 \times 10^7} \text{ с} = 0.25 \times 10^{-7} \text{ с}$

Для удобства представим результат в микросекундах ($1 \text{ мкс} = 10^{-6} \text{ с}$):$t = 0.25 \times 10^{-7} \text{ с} = 0.025 \times 10^{-6} \text{ с} = 0.025 \text{ мкс}$

Ответ: наименьшее время, через которое напряжение станет 71 В, составляет $0.025 \text{ мкс}$.