Номер 5.43, страница 111 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.43, страница 111.

Условие.

5.43*. Конденсатор ёмкостью $2 \text{ мкФ}$ зарядили до напряжения $100 \text{ В}$ и замкнули на катушку индуктивностью $5 \text{ мГн}$. Определите напряжение на конденсаторе через $0,24\pi \text{ с}$ после замыкания.

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Начальное напряжение, $U_0 = 100 \text{ В}$

Индуктивность катушки, $L = 5 \text{ мГн} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Время, $t = 0,24\pi \text{ с}$

Найти:

Напряжение на конденсаторе в момент времени $\text{t}$, $U(t)$

Решение:

При замыкании заряженного конденсатора на катушку индуктивности возникает идеальный колебательный контур (LC-контур), в котором происходят свободные электромагнитные колебания. Сопротивление контура считаем равным нулю.

Напряжение на конденсаторе изменяется со временем по гармоническому закону:

$U(t) = U_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$

где $U_{max}$ – амплитудное (максимальное) значение напряжения, $\omega$ – циклическая частота колебаний, $\phi_0$ – начальная фаза.

В начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен, и напряжение на нем максимально. Следовательно, амплитуда напряжения $U_{max}$ равна начальному напряжению $U_0$, а начальная фаза $\phi_0 = 0$.

$U(t) = U_0 \cos(\omega t)$

Циклическая частота свободных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим числовые значения для расчёта частоты:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{10 \cdot 10^{-9} \text{ с}^2}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-8} \text{ с}^2}} = 10^4 \text{ рад/с}$

Теперь можем найти напряжение на конденсаторе в заданный момент времени $t = 0,24\pi \text{ с}$:

$U(t) = U_0 \cos(\omega t) = 100 \text{ В} \cdot \cos(10^4 \text{ рад/с} \cdot 0,24\pi \text{ с})$

Вычислим аргумент косинуса:

$\omega t = 10^4 \cdot 0,24\pi = 2400\pi \text{ рад}$

Поскольку $2400$ — целое четное число, то значение косинуса от угла $2400\pi$ равно 1, так как это соответствует целому числу полных периодов ($1200 \cdot 2\pi$):

$\cos(2400\pi) = 1$

Подставляем значение косинуса в формулу для напряжения:

$U(t) = 100 \text{ В} \cdot 1 = 100 \text{ В}$

Это означает, что за время $t = 0,24\pi \text{ с}$ в контуре прошло ровно 1200 полных колебаний, и система вернулась в исходное состояние.

Ответ: $U = 100$ В.