Номер 5.39, страница 110 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.39, страница 110.

Условие.

5.39. Сила тока в колебательном контуре изменяется с течением времени так, как показано на графике (рис. 5.8). Найдите заряд конденсатора в момент времени: а) 3 мкс; б) 6 мкс; в) 5 мкс; г) 11 мкс.

Рис. 5.8

Решение.

Дано:

Из графика зависимости силы тока от времени $i(t)$:

Амплитуда силы тока $I_m = 60 \text{ мА} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Период колебаний $T = 12 \text{ мкс} = 12 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$t_а = 3 \text{ мкс} = 3 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$t_б = 6 \text{ мкс} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$t_в = 5 \text{ мкс} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$t_г = 11 \text{ мкс} = 11 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Найти:

$q(t_а), q(t_б), q(t_в), q(t_г)$

Решение:

Сила тока в колебательном контуре является производной заряда конденсатора по времени: $i(t) = q'(t)$.

Из графика видно, что зависимость силы тока от времени описывается синусоидальным законом, так как при $t=0$ сила тока $i=0$ и возрастает. Уравнение имеет вид:

$i(t) = I_m \sin(\omega t)$

Циклическая частота колебаний $\omega$ связана с периодом $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Вычислим циклическую частоту:

$\omega = \frac{2\pi}{12 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = \frac{\pi}{6 \cdot 10^{-6}} \text{ рад/с}$

Заряд конденсатора $q(t)$ можно найти, проинтегрировав силу тока по времени:

$q(t) = \int i(t) dt = \int I_m \sin(\omega t) dt = -\frac{I_m}{\omega} \cos(\omega t) + C$

В колебательном контуре средний заряд равен нулю, поэтому постоянная интегрирования $C=0$. Зависимость заряда от времени имеет вид $q(t) = -Q_m \cos(\omega t)$, где $Q_m = \frac{I_m}{\omega}$ - амплитуда заряда.

Вычислим амплитудное значение заряда:

$Q_m = \frac{I_m}{\omega} = \frac{60 \cdot 10^{-3} \text{ А}}{\frac{\pi}{6 \cdot 10^{-6}} \text{ рад/с}} = \frac{360 \cdot 10^{-9}}{\pi} \text{ Кл} \approx 114.6 \text{ нКл}$

Таким образом, уравнение для заряда конденсатора (где $\text{t}$ в мкс, а $\text{q}$ в нКл):

$q(t) = -\frac{360}{\pi} \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$

Теперь найдем заряд в указанные моменты времени.

а) $t = 3 \text{ мкс}$

В этот момент времени, как видно из графика, сила тока достигает максимального значения ($i = I_m$). Это означает, что конденсатор полностью разряжен, и вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки индуктивности. Следовательно, заряд конденсатора равен нулю.

Проверим по формуле:

$q(3) = -\frac{360}{\pi} \cos\left(\frac{\pi \cdot 3}{6}\right) = -\frac{360}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{360}{\pi} \cdot 0 = 0$

Ответ: $q(3 \text{ мкс}) = 0 \text{ Кл}$.

б) $t = 6 \text{ мкс}$

В этот момент времени, согласно графику, сила тока равна нулю ($i = 0$). Это означает, что конденсатор полностью заряжен, и вся энергия контура сосредоточена в его электрическом поле. Заряд на конденсаторе достигает своего максимального по модулю (амплитудного) значения.

Расчет по формуле:

$q(6) = -\frac{360}{\pi} \cos\left(\frac{\pi \cdot 6}{6}\right) = -\frac{360}{\pi} \cos(\pi) = -\frac{360}{\pi} \cdot (-1) = \frac{360}{\pi} \text{ нКл} \approx 115 \text{ нКл}$

Ответ: $q(6 \text{ мкс}) \approx 115 \text{ нКл}$.

в) $t = 5 \text{ мкс}$

Подставим значение времени в формулу для заряда:

$q(5) = -\frac{360}{\pi} \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$q(5) = -\frac{360}{\pi} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{180\sqrt{3}}{\pi} \text{ нКл} \approx \frac{180 \cdot 1.732}{3.142} \approx 99.2 \text{ нКл}$

Ответ: $q(5 \text{ мкс}) \approx 99.2 \text{ нКл}$.

г) $t = 11 \text{ мкс}$

Подставим значение времени в формулу для заряда:

$q(11) = -\frac{360}{\pi} \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)$

Используя тригонометрическое тождество $\cos(\frac{11\pi}{6}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$q(11) = -\frac{360}{\pi} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{180\sqrt{3}}{\pi} \text{ нКл} \approx -99.2 \text{ нКл}$

Ответ: $q(11 \text{ мкс}) \approx -99.2 \text{ нКл}$.