Номер 5.44, страница 111 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.44, страница 111.

Условие.

5.44* Заряженный конденсатор ёмкостью 4 мкФ подключили к катушке индуктивностью 90 мГн. Через какое наименьшее время от момента подключения заряд конденсатора уменьшится в 2 раза?

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Индуктивность катушки, $L = 90 \text{ мГн} = 90 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Найти:

Наименьшее время $\text{t}$, через которое заряд конденсатора уменьшится в 2 раза.

Решение:

Конденсатор и катушка образуют идеальный колебательный контур (LC-контур), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания. Заряд на обкладках конденсатора изменяется со временем по гармоническому закону.

В начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен, поэтому его заряд максимален ($q(0) = q_m$). В этом случае зависимость заряда от времени описывается функцией косинуса:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

где $q_m$ — амплитудное (начальное) значение заряда, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Согласно условию задачи, мы ищем наименьшее время $t > 0$, когда заряд на конденсаторе станет равен половине начального:

$q(t) = \frac{q_m}{2}$

Приравняем правые части двух выражений для $q(t)$:

$\frac{q_m}{2} = q_m \cos(\omega t)$

Разделим обе части уравнения на $q_m$:

$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$

Чтобы найти наименьшее положительное время $\text{t}$, нужно взять наименьшее положительное решение этого тригонометрического уравнения для аргумента $\omega t$. Таким решением является:

$\omega t = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

Из этого соотношения выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{\pi}{3\omega}$

Циклическая частота $\omega$ свободных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим это выражение для $\omega$ в формулу для времени $\text{t}$:

$t = \frac{\pi}{3} \sqrt{LC}$

Теперь подставим числовые значения величин $\text{L}$ и $\text{C}$ в систему СИ и произведем вычисления:

$t = \frac{\pi}{3} \sqrt{(90 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}) \cdot (4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф})} = \frac{\pi}{3} \sqrt{360 \cdot 10^{-9} \text{ с}^2}$

Упростим выражение под корнем для удобства вычислений:

$t = \frac{\pi}{3} \sqrt{36 \cdot 10^{-8} \text{ с}^2} = \frac{\pi}{3} \cdot (6 \cdot 10^{-4} \text{ с}) = 2\pi \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14$:

$t \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 6.28 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 0.628 \text{ мс}$

Ответ: $t = 2\pi \cdot 10^{-4} \text{ с} \approx 0.63 \text{ мс}$.