Номер 5.38, страница 110 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.38, страница 110.

Условие.

5.38. По графику зависимости напряжения на конденсаторе колебательного контура от времени (рис. 5.7) найдите:

а) уравнение зависимости напряжения от времени;

б) уравнение зависимости заряда от времени, если ёмкость конденсатора 1 $\mu\text{Ф}$;

в) индуктивность контура.

Рис. 5.7

Решение.

Задача решается для каждого графика отдельно.

Для графика а (рис. 5.7 а)

Дано:

Из графика:

Амплитуда напряжения $U_m = 20 \text{ В}$

Период колебаний $T = 0.1 \text{ мкс} = 0.1 \times 10^{-6} \text{ с} = 10^{-7} \text{ с}$

Из условия задачи:

Ёмкость конденсатора $C = 1 \text{ мкФ} = 1 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

а) $u(t)$ - уравнение зависимости напряжения от времени

б) $q(t)$ - уравнение зависимости заряда от времени

в) $\text{L}$ - индуктивность контура

Решение:

а) уравнение зависимости напряжения от времени

Колебания напряжения в идеальном колебательном контуре являются гармоническими и могут быть описаны уравнением $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$.

Из графика видно, что амплитуда напряжения $U_m = 20 \text{ В}$.

Период колебаний $T = 0.1 \text{ мкс} = 10^{-7} \text{ с}$.

Циклическая частота колебаний $\omega$ связана с периодом соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

$\omega = \frac{2\pi}{10^{-7} \text{ с}} = 2\pi \cdot 10^7 \text{ рад/с}$.

В начальный момент времени $t=0$ напряжение максимально ($u(0) = U_m$), что соответствует колебаниям по закону косинуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.

Подставляя найденные значения в общее уравнение, получаем:

$u(t) = 20 \cos(2\pi \cdot 10^7 t)$.

Ответ: $u(t) = 20 \cos(2\pi \cdot 10^7 t)$ (напряжение в Вольтах, время в секундах).

б) уравнение зависимости заряда от времени

Заряд на обкладках конденсатора $\text{q}$ связан с напряжением $\text{u}$ на нём через ёмкость $\text{C}$ формулой $q(t) = C \cdot u(t)$. Следовательно, колебания заряда происходят по тому же закону, что и колебания напряжения.

Амплитуда колебаний заряда: $q_m = C \cdot U_m = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 20 \text{ В} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}$.

Уравнение зависимости заряда от времени имеет вид:

$q(t) = 2 \cdot 10^{-5} \cos(2\pi \cdot 10^7 t)$.

Ответ: $q(t) = 2 \cdot 10^{-5} \cos(2\pi \cdot 10^7 t)$ (заряд в Кулонах, время в секундах).

в) индуктивность контура

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Выразим из этой формулы индуктивность $\text{L}$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow L = \frac{1}{\omega^2 C}$.

Подставим числовые значения:

$L = \frac{1}{(2\pi \cdot 10^7 \text{ рад/с})^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^{14} \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^8} \text{ Гн}$.

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi^2 \approx 9.87$:

$L \approx \frac{1}{4 \cdot 9.87 \cdot 10^8} \approx 0.0253 \cdot 10^{-8} \text{ Гн} \approx 2.53 \cdot 10^{-10} \text{ Гн}$.

Ответ: $L = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^8} \text{ Гн} \approx 2.53 \cdot 10^{-10} \text{ Гн}$.

Для графика б (рис. 5.7 б)

Дано:

Из графика:

Амплитуда напряжения $U_m = 6 \text{ мВ} = 6 \times 10^{-3} \text{ В}$

Период колебаний $T = 4 \text{ мс} = 4 \times 10^{-3} \text{ с}$

Из условия задачи:

Ёмкость конденсатора $C = 1 \text{ мкФ} = 1 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

а) $u(t)$ - уравнение зависимости напряжения от времени

б) $q(t)$ - уравнение зависимости заряда от времени

в) $\text{L}$ - индуктивность контура

Решение:

а) уравнение зависимости напряжения от времени

Колебания напряжения являются гармоническими. В данном случае удобно использовать уравнение вида $u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$.

Из графика определяем амплитуду напряжения: $U_m = 6 \text{ мВ} = 6 \cdot 10^{-3} \text{ В}$.

Период колебаний (время одного полного колебания): $T = 4 \text{ мс} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ с}$.

Циклическая частота колебаний: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 500\pi \text{ рад/с}$.

В начальный момент времени $t=0$ напряжение равно нулю ($u(0) = 0$) и затем возрастает. Это соответствует колебаниям по закону синуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.

Подставляя значения, получаем уравнение:

$u(t) = 6 \cdot 10^{-3} \sin(500\pi t)$.

Ответ: $u(t) = 6 \cdot 10^{-3} \sin(500\pi t)$ (напряжение в Вольтах, время в секундах).

б) уравнение зависимости заряда от времени

Заряд на конденсаторе $q(t) = C \cdot u(t)$. Колебания заряда происходят по тому же закону, что и колебания напряжения.

Амплитуда колебаний заряда: $q_m = C \cdot U_m = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 6 \cdot 10^{-3} \text{ В} = 6 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$.

Уравнение зависимости заряда от времени имеет вид:

$q(t) = 6 \cdot 10^{-9} \sin(500\pi t)$.

Ответ: $q(t) = 6 \cdot 10^{-9} \sin(500\pi t)$ (заряд в Кулонах, время в секундах).

в) индуктивность контура

Используем формулу Томсона $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ для нахождения индуктивности $\text{L}$.

$L = \frac{1}{\omega^2 C}$.

Подставим числовые значения:

$L = \frac{1}{(500\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{250000\pi^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0.25\pi^2} \text{ Гн}$.

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi^2 \approx 9.87$:

$L \approx \frac{1}{0.25 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{2.4675} \approx 0.405 \text{ Гн}$.

Ответ: $L = \frac{1}{0.25\pi^2} \text{ Гн} \approx 0.405 \text{ Гн}$.