Номер 5.33, страница 109 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.33, страница 109.

Условие.

5.33. Сила тока в колебательном контуре изменяется с течением времени по закону $i = 5\cos 10^4\pi t$ (мА). Индуктивность контура 1 мГн. Найдите:

а) уравнение зависимости заряда от времени;

б) уравнение зависимости напряжения от времени;

в) сдвиг фаз между колебаниями заряда конденсатора и напряжения на конденсаторе;

г) ёмкость контура.

Решение.

Дано:

Уравнение силы тока: $i = 5\cos(10^4\pi t)$ (мА)
Индуктивность: $L = 1$ мГн

В системе СИ:
Амплитуда силы тока: $I_m = 5 \cdot 10^{-3}$ А
Циклическая частота: $\omega = 10^4\pi$ рад/с
Индуктивность: $L = 1 \cdot 10^{-3}$ Гн

Найти:

а) $q(t)$ - уравнение зависимости заряда от времени
б) $u(t)$ - уравнение зависимости напряжения от времени
в) $\Delta\varphi$ - сдвиг фаз между колебаниями заряда и напряжения
г) $\text{C}$ - ёмкость контура

Решение:

а) уравнение зависимости заряда от времени

Сила тока $i(t)$ является первой производной заряда $q(t)$ по времени: $i = q'$. Следовательно, для нахождения зависимости заряда от времени, необходимо взять интеграл от функции силы тока по времени:$q(t) = \int i(t) dt = \int I_m \cos(\omega t) dt$$q(t) = \frac{I_m}{\omega} \sin(\omega t)$Амплитуда колебаний заряда $q_m$ равна:$q_m = \frac{I_m}{\omega} = \frac{5 \cdot 10^{-3} \text{ А}}{10^4\pi \text{ рад/с}} = \frac{5}{\pi} \cdot 10^{-7}$ КлТогда уравнение зависимости заряда от времени имеет вид:$q(t) = \frac{5}{\pi} \cdot 10^{-7} \sin(10^4\pi t)$ (Кл)

Ответ: $q(t) = \frac{5}{\pi} \cdot 10^{-7} \sin(10^4\pi t)$ (Кл).

б) уравнение зависимости напряжения от времени

В идеальном колебательном контуре напряжение на конденсаторе $u_C$ равно ЭДС самоиндукции в катушке $E_L$. ЭДС самоиндукции определяется по формуле $E_L = -L \frac{di}{dt}$.Найдем производную силы тока по времени:$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(I_m \cos(\omega t)) = -I_m \omega \sin(\omega t)$Тогда напряжение на конденсаторе:$u(t) = -L (-I_m \omega \sin(\omega t)) = L I_m \omega \sin(\omega t)$Амплитуда напряжения $U_m$ равна:$U_m = L I_m \omega = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ А} \cdot 10^4\pi \text{ рад/с} = 5 \cdot 10^{-2}\pi \text{ В} = 0.05\pi$ ВУравнение зависимости напряжения от времени имеет вид:$u(t) = 0.05\pi \sin(10^4\pi t)$ (В)

Ответ: $u(t) = 0.05\pi \sin(10^4\pi t)$ (В).

в) сдвиг фаз между колебаниями заряда конденсатора и напряжения на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом соотношением $u(t) = \frac{q(t)}{C}$. Так как ёмкость $\text{C}$ является положительной постоянной величиной, то колебания напряжения $u(t)$ и заряда $q(t)$ происходят в одинаковой фазе.Это также видно из полученных уравнений:$q(t) = \frac{5}{\pi} \cdot 10^{-7} \sin(10^4\pi t)$$u(t) = 0.05\pi \sin(10^4\pi t)$Фазы обоих колебаний описываются функцией $\sin(10^4\pi t)$, следовательно, сдвиг фаз между ними равен нулю.

Ответ: Сдвиг фаз равен 0.

г) ёмкость контура

Ёмкость контура можно найти из формулы Томсона для циклической частоты колебаний в контуре: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.Выразим отсюда ёмкость $\text{C}$:$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies C = \frac{1}{L\omega^2}$Подставим известные значения:$C = \frac{1}{1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot (10^4\pi \text{ рад/с})^2} = \frac{1}{10^{-3} \cdot 10^8 \pi^2} = \frac{1}{10^5 \pi^2} = \frac{10^{-5}}{\pi^2}$ Ф$C \approx \frac{10^{-5}}{9.87} \approx 1.013 \cdot 10^{-6}$ Ф, или $1.013$ мкФ.

Ответ: $C = \frac{10^{-5}}{\pi^2}$ Ф $\approx 1.013$ мкФ.