Номер 5.27, страница 108 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.27, страница 108.

Условие.

5.27. Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени по закону $q = 10^{-6}\sin(10^4\pi t)$ (Кл). Ёмкость конденсатора 1 мкФ. Найдите:

a) уравнение зависимости силы тока от времени;

б) уравнение зависимости напряжения от времени;

в) сдвиг фаз между колебаниями заряда и силы тока;

г) индуктивность контура.

Решение.

Дано:

Уравнение изменения заряда: $q(t) = 10^{-6}\sin(10^4\pi t)$ Кл

Ёмкость конденсатора: $C = 1$ мкФ $= 10^{-6}$ Ф

Найти:

а) $I(t)$ - ?

б) $U(t)$ - ?

в) $\Delta\phi$ - ?

г) $\text{L}$ - ?

Решение:

Общий вид уравнения колебаний заряда в контуре: $q(t) = q_m \sin(\omega t + \phi_0)$. Сравнивая это уравнение с заданным, находим амплитуду заряда $q_m = 10^{-6}$ Кл и циклическую частоту $\omega = 10^4\pi$ рад/с.

а) уравнение зависимости силы тока от времени

Сила тока $\text{I}$ является первой производной от заряда $\text{q}$ по времени $\text{t}$:
$I(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$
Подставляем заданное уравнение для заряда и дифференцируем:
$I(t) = \frac{d}{dt}(10^{-6}\sin(10^4\pi t)) = 10^{-6} \cdot 10^4\pi \cos(10^4\pi t) = 10^{-2}\pi \cos(10^4\pi t)$ (А).
Амплитуда силы тока $I_m = q_m \omega = 10^{-6} \cdot 10^4\pi = 10^{-2}\pi$ А.

Ответ: $I(t) = 10^{-2}\pi \cos(10^4\pi t)$ А.

б) уравнение зависимости напряжения от времени

Напряжение на конденсаторе $\text{U}$ связано с его зарядом $\text{q}$ и ёмкостью $\text{C}$ формулой $U = \frac{q}{C}$.
Подставляем известные значения:
$U(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{10^{-6}\sin(10^4\pi t)}{10^{-6}} = \sin(10^4\pi t)$ (В).
Амплитуда напряжения $U_m = \frac{q_m}{C} = \frac{10^{-6}}{10^{-6}} = 1$ В.

Ответ: $U(t) = \sin(10^4\pi t)$ В.

в) сдвиг фаз между колебаниями заряда и силы тока

Сравним фазы колебаний заряда $q(t)$ и силы тока $I(t)$. Для этого приведем их к одной тригонометрической функции, например, к синусу, используя формулу $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$.
Уравнение для заряда: $q(t) = 10^{-6}\sin(10^4\pi t)$. Фаза: $\phi_q = 10^4\pi t$.
Уравнение для тока: $I(t) = 10^{-2}\pi \cos(10^4\pi t) = 10^{-2}\pi \sin(10^4\pi t + \frac{\pi}{2})$. Фаза: $\phi_I = 10^4\pi t + \frac{\pi}{2}$.
Сдвиг фаз $\Delta\phi$ равен разности фаз колебаний тока и заряда:
$\Delta\phi = \phi_I - \phi_q = (10^4\pi t + \frac{\pi}{2}) - (10^4\pi t) = \frac{\pi}{2}$.
Колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$ рад.

г) индуктивность контура

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
Возводя обе части в квадрат, получим $\omega^2 = \frac{1}{LC}$.
Отсюда выразим индуктивность $\text{L}$:
$L = \frac{1}{\omega^2 C}$.
Подставим числовые значения:
$L = \frac{1}{(10^4\pi)^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^8\pi^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{100\pi^2}$ Гн.
Рассчитаем приблизительное значение, приняв $\pi^2 \approx 9.87$:
$L \approx \frac{1}{100 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{987} \approx 0.001013$ Гн $\approx 1.01$ мГн.

Ответ: $L = \frac{1}{100\pi^2}$ Гн $\approx 1.01$ мГн.