Номер 5.24, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.24, страница 107.

Условие.

5.24. Определите собственную частоту колебаний в колебательном контуре, конденсатор которого при подаче напряжения 20 В приобретает заряд 20 пКл. Индуктивность колебательного контура равна индуктивности катушки, при изменении в которой силы тока на 100 мкА за 1 мкс возникает ЭДС самоиндукции 1,6 мВ.

Решение.

Дано:

$U = 20$ В

$q = 20$ пКл = $20 \cdot 10^{-12}$ Кл

$\Delta I = 100$ мкА = $100 \cdot 10^{-6}$ А = $10^{-4}$ А

$\Delta t = 1$ мкс = $1 \cdot 10^{-6}$ с

$\mathcal{E}_{si} = 1.6$ мВ = $1.6 \cdot 10^{-3}$ В

Найти:

$\nu$ - ?

Решение:

Собственная частота колебаний $\nu$ в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – ёмкость конденсатора.

Для нахождения частоты необходимо сначала определить значения $\text{C}$ и $\text{L}$ из данных задачи.

1. Вычислим ёмкость конденсатора. Ёмкость $\text{C}$ связана с зарядом $\text{q}$ и напряжением $\text{U}$ на конденсаторе следующим соотношением:

$C = \frac{q}{U}$

Подставим числовые значения:

$C = \frac{20 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}}{20 \text{ В}} = 1 \cdot 10^{-12}$ Ф = 1 пФ.

2. Вычислим индуктивность катушки. ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si}$ определяется скоростью изменения тока $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ и индуктивностью катушки $\text{L}$:

$|\mathcal{E}_{si}| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$

Из этой формулы выразим индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{|\mathcal{E}_{si}| \cdot \Delta t}{|\Delta I|}$

Подставим числовые значения:

$L = \frac{1.6 \cdot 10^{-3} \text{ В} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ с}}{100 \cdot 10^{-6} \text{ А}} = \frac{1.6 \cdot 10^{-9}}{10^{-4}}$ Гн = $1.6 \cdot 10^{-5}$ Гн = 16 мкГн.

3. Теперь, зная ёмкость и индуктивность, мы можем рассчитать собственную частоту колебаний контура:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1.6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн} \cdot 1 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1.6 \cdot 10^{-17} \text{ с}^2}}$

Для удобства вычислений представим $1.6 \cdot 10^{-17}$ как $16 \cdot 10^{-18}$:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{16 \cdot 10^{-18} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 4 \cdot 10^{-9} \text{ с}} = \frac{1}{8\pi \cdot 10^{-9}}$ Гц

Выполним окончательный расчет:

$\nu = \frac{10^9}{8\pi} \approx \frac{10^9}{8 \cdot 3.14159} \approx \frac{10^9}{25.13} \approx 0.03979 \cdot 10^9$ Гц

$\nu \approx 39.8 \cdot 10^6$ Гц = 39.8 МГц.

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$\nu \approx 40$ МГц.

Ответ: собственная частота колебаний в контуре составляет приблизительно $\text{40}$ МГц.