Номер 5.20, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.20, страница 107.

Условие.

5.20. К конденсатору колебательного контура параллельно присоединили другой конденсатор втрое большей ёмкости, после чего частота колебаний уменьшилась на 300 Гц. Какова была первоначальная частота колебаний?

Решение.

Дано:

$C_2 = 3C_1$ (ёмкость второго конденсатора втрое больше первоначальной $C_1$)
$\Delta f = 300$ Гц (уменьшение частоты)

Найти:

$f_1$ - первоначальную частоту колебаний.

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – ёмкость конденсатора.

Первоначальная частота колебаний контура ($f_1$) с ёмкостью $C_1$ равна:

$f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

При параллельном соединении конденсаторов их общая ёмкость равна сумме ёмкостей. После подключения второго конденсатора ёмкостью $C_2=3C_1$ новая общая ёмкость контура ($C_{общ}$) стала:

$C_{общ} = C_1 + C_2 = C_1 + 3C_1 = 4C_1$

Новая частота колебаний контура ($f_2$) с новой ёмкостью $C_{общ}$ будет равна:

$f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{общ}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(4C_1)}} = \frac{1}{2\pi \cdot 2\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}\right)$

Сравнивая выражения для $f_1$ и $f_2$, мы видим, что новая частота связана с первоначальной следующим соотношением:

$f_2 = \frac{1}{2} f_1$

По условию задачи, частота колебаний уменьшилась на $\Delta f = 300$ Гц. Это означает, что разница между первоначальной и новой частотой составляет 300 Гц:

$f_1 - f_2 = \Delta f = 300$ Гц

Подставим в это уравнение выражение для $f_2$:

$f_1 - \frac{1}{2} f_1 = 300$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{1}{2} f_1 = 300$

Отсюда находим первоначальную частоту $f_1$:

$f_1 = 2 \cdot 300 = 600$ Гц

Ответ: первоначальная частота колебаний была 600 Гц.