Номер 5.18, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.18, страница 107.

Условие.

5.18. При изменении ёмкости конденсатора колебательного контура на 0,08 мкФ частота колебаний уменьшилась в 3 раза. Найдите первоначальную ёмкость, если индуктивность катушки осталась неизменной.

Решение.

Дано:

$ \Delta C = 0,08 \, \text{мкФ} $

$ \frac{\nu_1}{\nu_2} = 3 $

$ L = \text{const} $

Перевод в систему СИ:

$ \Delta C = 0,08 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф} = 8 \cdot 10^{-8} \, \text{Ф} $

Найти:

$ C_1 $ - ?

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$ \nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $

где $ \nu $ – частота колебаний, $ L $ – индуктивность катушки, $ C $ – ёмкость конденсатора.

Запишем эту формулу для начального состояния (с параметрами $ \nu_1 $ и $ C_1 $) и конечного состояния (с параметрами $ \nu_2 $ и $ C_2 $):

$ \nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} $

$ \nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} $

По условию задачи, частота колебаний уменьшилась в 3 раза, следовательно, $ \frac{\nu_1}{\nu_2} = 3 $. Так как частота $ \nu $ обратно пропорциональна квадратному корню из ёмкости $ C $ ($ \nu \sim 1/\sqrt{C} $), уменьшение частоты означает увеличение ёмкости. Таким образом, конечная ёмкость $ C_2 $ больше начальной $ C_1 $:

$ C_2 = C_1 + \Delta C $

Найдем отношение начальной частоты к конечной:

$ \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_2}}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}} $

Подставим в это соотношение известное значение $ \frac{\nu_1}{\nu_2} = 3 $:

$ 3 = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}} $

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$ 3^2 = \frac{C_2}{C_1} $

$ 9 = \frac{C_2}{C_1} $

Отсюда выразим конечную ёмкость $ C_2 $ через начальную $ C_1 $:

$ C_2 = 9C_1 $

Теперь подставим это выражение в формулу $ C_2 = C_1 + \Delta C $:

$ 9C_1 = C_1 + \Delta C $

Перенесем $ C_1 $ в левую часть уравнения и найдем $ C_1 $:

$ 9C_1 - C_1 = \Delta C $

$ 8C_1 = \Delta C $

$ C_1 = \frac{\Delta C}{8} $

Подставим числовое значение изменения ёмкости $ \Delta C = 0,08 \, \text{мкФ} $:

$ C_1 = \frac{0,08 \, \text{мкФ}}{8} = 0,01 \, \text{мкФ} $

Ответ: первоначальная ёмкость конденсатора равна $ 0,01 \, \text{мкФ} $.