Номер 5.22, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.22, страница 107.

Условие.

5.22. На какую частоту настроен колебательный контур ёмкостью $6 \text{ мкФ}$ и индуктивностью, равной индуктивности катушки, в которой при изменении силы тока на $1 \text{ мА}$ в $1 \text{ мкс}$ возникает ЭДС самоиндукции $1 \text{ мВ}$?

Решение.

Дано:

$C = 6 \text{ мкФ} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$\Delta I = 1 \text{ мА} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$\Delta t = 1 \text{ мкс} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

$\mathcal{E}_{si} = 1 \text{ мВ} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

Найти:

$\nu$ - ?

Решение:

Для определения частоты колебательного контура необходимо знать его ёмкость $\text{C}$ и индуктивность $\text{L}$. Ёмкость дана в условии, а индуктивность катушки можно найти из данных об ЭДС самоиндукции.

ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{si}$ связана с индуктивностью $\text{L}$ и скоростью изменения тока $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ по формуле:

$\mathcal{E}_{si} = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$

Поскольку нас интересует величина индуктивности, мы можем использовать модуль ЭДС:

$|\mathcal{E}_{si}| = L \frac{|\Delta I|}{|\Delta t|}$

Выразим индуктивность $\text{L}$ из этой формулы:

$L = \frac{|\mathcal{E}_{si}| \cdot |\Delta t|}{|\Delta I|}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$L = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ В} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ с}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ А}} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Теперь, зная индуктивность $\text{L}$ и ёмкость $\text{C}$, можем найти резонансную частоту колебательного контура $\nu$. Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Частота является величиной, обратной периоду $\nu = \frac{1}{T}$.

Следовательно, формула для частоты:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим известные значения ёмкости $\text{C}$ и найденной индуктивности $\text{L}$:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 6 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{6 \cdot 10^{-12} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 10^{-6} \sqrt{6} \text{ с}}$

$\nu = \frac{10^6}{2\pi\sqrt{6}} \text{ Гц}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{6} \approx 2.45$:

$\nu \approx \frac{10^6}{2 \cdot 3.14 \cdot 2.45} \approx \frac{10^6}{15.386} \approx 64994 \text{ Гц}$

Округлим результат и выразим его в килогерцах:

$\nu \approx 65000 \text{ Гц} = 65 \text{ кГц}$

Ответ: частота, на которую настроен колебательный контур, составляет примерно 65 кГц.