Номер 5.19, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.19, страница 107.

Условие.

5.19. Колебательный контур с конденсатором ёмкостью $1 \text{ мкФ}$ настроен на частоту $400 \text{ Гц}$. Если к конденсатору контура подключить параллельно второй конденсатор, то частота колебаний в контуре становится равной $200 \text{ Гц}$. Определите ёмкость второго конденсатора.

Решение.

Дано:

Ёмкость первого конденсатора, $C_1 = 1 \text{ мкФ}$

Начальная частота контура, $\nu_1 = 400 \text{ Гц}$

Конечная частота контура, $\nu_2 = 200 \text{ Гц}$

$C_1 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Ёмкость второго конденсатора, $C_2$

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

В начальном состоянии, когда в контуре был только один конденсатор, частота была равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$ (1)

При параллельном подключении второго конденсатора ёмкостью $C_2$ общая ёмкость системы становится равной сумме ёмкостей:

$C_{общ} = C_1 + C_2$

Новая частота колебаний в контуре будет:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}}$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить неизвестную индуктивность $\text{L}$:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + C_2)}}} = \frac{\sqrt{L(C_1 + C_2)}}{\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_1 + C_2}{C_1}}$

Для того чтобы выразить ёмкость, возведём обе части полученного отношения в квадрат:

$\left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 = \frac{C_1 + C_2}{C_1}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую ёмкость $C_2$:

$\left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 = 1 + \frac{C_2}{C_1}$

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 - 1$

$C_2 = C_1 \left( \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 - 1 \right)$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$C_2 = 1 \cdot 10^{-6} \left( \left(\frac{400}{200}\right)^2 - 1 \right) = 1 \cdot 10^{-6} \left( 2^2 - 1 \right) = 1 \cdot 10^{-6} (4 - 1) = 3 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Полученный результат можно представить в микрофарадах:

$C_2 = 3 \text{ мкФ}$

Ответ: ёмкость второго конденсатора равна $3 \text{ мкФ}$.