Номер 5.14, страница 106 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.14, страница 106.

Условие.

5.14. Как изменится частота собственных колебаний в колебательном контуре (рис. 5.3), если ключ К перевести из положения 1 в положение 2:

а) $C_2 = 9C_1$;

б) $C_1 = 16C_2$;

в) $C_1 = 2C_2$?

Решение.

Дано:

Колебательный контур, индуктивность катушки $\text{L}$ постоянна.

Частота в положении 1 ключа: $\nu_1$, емкость конденсатора: $C_1$.

Частота в положении 2 ключа: $\nu_2$, емкость конденсатора: $C_2$.

а) $C_2 = 9C_1$

б) $C_1 = 16C_2$

в) $C_1 = 2C_2$

Найти:

Как изменится частота (найти отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$) в каждом случае.

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – емкость конденсатора.

Когда ключ находится в положении 1, частота колебаний $\nu_1$ равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

Когда ключ переводится в положение 2, индуктивность катушки $\text{L}$ не меняется, а емкость становится равной $C_2$. Новая частота колебаний $\nu_2$ будет равна:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Чтобы найти, как изменится частота, составим отношение частоты $\nu_2$ к частоте $\nu_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_1}}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Из этой формулы видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из емкости: $\nu \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев, используя выведенное соотношение.

а)

По условию $C_2 = 9C_1$. Подставим это в нашу формулу для отношения частот:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C_1}{9C_1}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Это означает, что $\nu_2 = \frac{1}{3}\nu_1$. Таким образом, частота собственных колебаний в контуре уменьшится в 3 раза.

Ответ: Частота уменьшится в 3 раза.

б)

По условию $C_1 = 16C_2$. Отсюда можно выразить отношение емкостей: $\frac{C_1}{C_2} = 16$. Подставим это значение в формулу:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}} = \sqrt{16} = 4$

Это означает, что $\nu_2 = 4\nu_1$. Таким образом, частота собственных колебаний в контуре увеличится в 4 раза.

Ответ: Частота увеличится в 4 раза.

в)

По условию $C_1 = 2C_2$. Отсюда отношение емкостей: $\frac{C_1}{C_2} = 2$. Подставим это значение в формулу:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}} = \sqrt{2}$

Это означает, что $\nu_2 = \sqrt{2}\nu_1$. Таким образом, частота собственных колебаний в контуре увеличится в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).

Ответ: Частота увеличится в $\sqrt{2}$ раз.