Номер 5.9, страница 106 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.9, страница 106.

Условие.

5.9. Индуктивность катушки, входящей в колебательный контур, 500 мкГн. Контур требуется настроить на частоту 1 МГц. Какой должна быть ёмкость конденсатора?

Решение.

Дано

Индуктивность катушки $L = 500$ мкГн = $500 \cdot 10^{-6}$ Гн = $5 \cdot 10^{-4}$ Гн.

Частота колебаний $f = 1$ МГц = $1 \cdot 10^6$ Гц.

Найти:

Ёмкость конденсатора $\text{C}$.

Решение

Для нахождения ёмкости конденсатора воспользуемся формулой Томсона для периода свободных электромагнитных колебаний в контуре:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Частота колебаний $\text{f}$ связана с периодом $\text{T}$ соотношением $f = \frac{1}{T}$. Подставив это в формулу Томсона, получим формулу для частоты:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Выразим из этой формулы ёмкость конденсатора $\text{C}$. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат:

$f^2 = \frac{1}{(2\pi)^2 LC} = \frac{1}{4\pi^2 LC}$

Отсюда находим $\text{C}$:

$C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$C = \frac{1}{4\pi^2 (10^6 \text{ Гц})^2 \cdot 5 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^{12} \cdot 5 \cdot 10^{-4}} \text{ Ф} = \frac{1}{20\pi^2 \cdot 10^8} \text{ Ф}$

Приближённо считая $\pi^2 \approx 9.87$:

$C \approx \frac{1}{20 \cdot 9.87 \cdot 10^8} \text{ Ф} \approx \frac{1}{197.4 \cdot 10^8} \text{ Ф} \approx 0.00506 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Переведём результат в более удобные единицы — пикофарады (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C \approx 50.6 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 50.6 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора должна быть приблизительно $50.6$ пФ.