Номер 5.13, страница 106 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.13, страница 106.

Условие.

5.13. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в колебательном контуре, если:

а) ёмкость контура увеличить в 3 раза, а индуктивность уменьшить в 3 раза;

б) ёмкость контура увеличить в 16 раз, а индуктивность уменьшить в 25 раз;

в) индуктивность увеличить в 10 раз, а ёмкость уменьшить в 2,5 раза? Активным сопротивлением контура пренебречь.

Решение.

Дано:

а) $C_2 = 3C_1$, $L_2 = \frac{L_1}{3}$
б) $C_2 = 16C_1$, $L_2 = \frac{L_1}{25}$
в) $L_2 = 10L_1$, $C_2 = \frac{C_1}{2.5}$

Найти:

$\frac{\nu_2}{\nu_1}$ – отношение конечной частоты к начальной для каждого случая.

Решение:

Частота собственных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона. Изначально период колебаний $T_1 = 2\pi\sqrt{L_1C_1}$, а частота $\nu_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}}$.

После изменения параметров индуктивности и ёмкости новая частота будет равна $\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}$.

Чтобы определить, во сколько раз изменилась частота, найдем отношение новой частоты к старой:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}}} = \frac{\sqrt{L_1C_1}}{\sqrt{L_2C_2}} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{L_2C_2}}$

Теперь применим эту формулу для каждого из трех случаев.

а) Если ёмкость контура увеличить в 3 раза ($C_2 = 3C_1$), а индуктивность уменьшить в 3 раза ($L_2 = \frac{L_1}{3}$), то отношение частот будет:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{(\frac{L_1}{3})(3C_1)}} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{L_1C_1}} = \sqrt{1} = 1$

Частота не изменится.

Ответ: частота не изменится.

б) Если ёмкость контура увеличить в 16 раз ($C_2 = 16C_1$), а индуктивность уменьшить в 25 раз ($L_2 = \frac{L_1}{25}$), то отношение частот будет:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{(\frac{L_1}{25})(16C_1)}} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{\frac{16}{25}L_1C_1}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1.25$

Частота увеличится в 1,25 раза.

Ответ: частота увеличится в 1,25 раза.

в) Если индуктивность увеличить в 10 раз ($L_2 = 10L_1$), а ёмкость уменьшить в 2,5 раза ($C_2 = \frac{C_1}{2.5}$), то отношение частот будет:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{(10L_1)(\frac{C_1}{2.5})}} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{\frac{10}{2.5}L_1C_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$

Отношение частот равно 0,5, что означает, что новая частота в 2 раза меньше начальной.

Ответ: частота уменьшится в 2 раза.