Номер 5.8, страница 106 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.8, страница 106.

Условие.

5.8. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 3 мГн и плоского воздушного конденсатора ёмкостью 13,4 пФ. Определите:

а) период свободных колебаний в контуре;

б) период колебаний, если пространство между обкладками конденсатора заполнить стеклом.

Решение.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 3$ мГн

Ёмкость воздушного конденсатора, $C_1 = 13,4$ пФ

Диэлектрическая проницаемость стекла, $\varepsilon \approx 7$ (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$L = 3 \cdot 10^{-3}$ Гн

$C_1 = 13,4 \cdot 10^{-12}$ Ф

Найти:

а) Период свободных колебаний $T_1$

б) Период колебаний со стеклом $T_2$

Решение:

а) период свободных колебаний в контуре;

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Для случая с воздушным конденсатором, период $T_1$ равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$T_1 = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{3 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 13,4 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}} = 6,28 \cdot \sqrt{40,2 \cdot 10^{-15} \text{ с}^2} = 6,28 \cdot \sqrt{4,02 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}$

$T_1 \approx 6,28 \cdot 2,005 \cdot 10^{-7} \text{ с} \approx 12,59 \cdot 10^{-7} \text{ с} \approx 1,26 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 1,26$ мкс

Ответ: период свободных колебаний в контуре составляет $1,26$ мкс.

б) период колебаний, если пространство между обкладками конденсатора заполнить стеклом.

При заполнении пространства между обкладками конденсатора диэлектриком (стеклом), его ёмкость увеличивается в $\varepsilon$ раз, где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества.

Новая ёмкость конденсатора $C_2$ будет равна:

$C_2 = \varepsilon C_1$

Период колебаний в контуре с новым конденсатором $T_2$ будет равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2} = 2\pi\sqrt{L \varepsilon C_1} = (2\pi\sqrt{LC_1}) \cdot \sqrt{\varepsilon} = T_1 \sqrt{\varepsilon}$

Таким образом, период колебаний увеличится в $\sqrt{\varepsilon}$ раз.

Используем диэлектрическую проницаемость стекла $\varepsilon \approx 7$ и найденное значение $T_1$:

$T_2 \approx 1,26 \cdot 10^{-6} \text{ с} \cdot \sqrt{7} \approx 1,26 \cdot 10^{-6} \text{ с} \cdot 2,646 \approx 3,33 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 3,33$ мкс

Ответ: период колебаний со стеклянным диэлектриком в конденсаторе составляет $3,33$ мкс.