Номер 5.11, страница 106 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.11, страница 106.

Условие.

5.11. В каких пределах должна изменяться индуктивность катушки колебательного контура, чтобы частота колебаний изменялась от 400 до 500 Гц? Емкость конденсатора 10 мкФ.

Решение.

Дано:

$f_{1} = 400$ Гц

$f_{2} = 500$ Гц

$C = 10$ мкФ

Перевод в систему СИ:

$C = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 10^{-5} \text{ Ф}$

Найти:

Пределы изменения индуктивности $\text{L}$.

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре (LC-контуре) определяется формулой Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{f}$ – частота колебаний, $\text{L}$ – индуктивность катушки, $\text{C}$ – ёмкость конденсатора.

Для нахождения индуктивности $\text{L}$ выразим ее из данной формулы. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$f^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$

Теперь выразим индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{1}{4\pi^2f^2C}$

Из полученной формулы видно, что индуктивность $\text{L}$ обратно пропорциональна квадрату частоты $\text{f}$. Следовательно, минимальной частоте колебаний $f_{1}$ будет соответствовать максимальная индуктивность $L_{max}$, а максимальной частоте $f_{2}$ – минимальная индуктивность $L_{min}$.

1. Найдем максимальное значение индуктивности $L_{max}$, которое соответствует частоте $f_{1} = 400$ Гц:

$L_{max} = \frac{1}{4\pi^2f_1^2C} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (400 \text{ Гц})^2 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 160000 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{6.4\pi^2} \text{ Гн}$

Принимая $\pi^2 \approx 9.87$, получаем:

$L_{max} \approx \frac{1}{6.4 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{63.17} \approx 0.0158 \text{ Гн}$

Переведем в миллигенри: $0.0158 \text{ Гн} = 15.8 \text{ мГн}$.

2. Найдем минимальное значение индуктивности $L_{min}$, которое соответствует частоте $f_{2} = 500$ Гц:

$L_{min} = \frac{1}{4\pi^2f_2^2C} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (500 \text{ Гц})^2 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 250000 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{10\pi^2} \text{ Гн}$

Принимая $\pi^2 \approx 9.87$, получаем:

$L_{min} \approx \frac{1}{10 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{98.7} \approx 0.0101 \text{ Гн}$

Переведем в миллигенри: $0.0101 \text{ Гн} = 10.1 \text{ мГн}$.

Следовательно, для изменения частоты колебаний от 400 до 500 Гц индуктивность катушки должна изменяться от 10.1 мГн до 15.8 мГн.

Ответ: Индуктивность катушки колебательного контура должна изменяться в пределах от 10.1 мГн до 15.8 мГн.