Номер 5.17, страница 107 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.17, страница 107.

Условие.

5.17. При изменении ёмкости конденсатора колебательного контура на 0,72 мкФ период колебаний увеличился в 14,1 раза. Найдите первоначальную ёмкость, если индуктивность катушки осталась неизменной.

Решение.

Дано:

$\Delta C = 0,72 \text{ мкФ}$

$\frac{T_2}{T_1} = 14,1$

$L = \text{const}$

$\Delta C = 0,72 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$C_1$

Решение:

Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

Запишем формулу для начального состояния контура (с ёмкостью $C_1$ и периодом $T_1$):

$T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1}$

И для конечного состояния (с ёмкостью $C_2$ и периодом $T_2$):

$T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2}$

По условию, период колебаний увеличился, следовательно, ёмкость конденсатора также увеличилась. Новая ёмкость $C_2$ связана с начальной $C_1$ соотношением:

$C_2 = C_1 + \Delta C$

Найдем отношение периодов $T_2$ и $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{LC_2}}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Подставим в это соотношение выражение для $C_2$:

$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{C_1 + \Delta C}{C_1}} = \sqrt{1 + \frac{\Delta C}{C_1}}$

Теперь подставим известные числовые значения и решим полученное уравнение относительно $C_1$.

$14,1 = \sqrt{1 + \frac{\Delta C}{C_1}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$14,1^2 = 1 + \frac{\Delta C}{C_1}$

$198,81 = 1 + \frac{\Delta C}{C_1}$

Выразим из уравнения искомое значение $C_1$:

$\frac{\Delta C}{C_1} = 198,81 - 1$

$\frac{\Delta C}{C_1} = 197,81$

$C_1 = \frac{\Delta C}{197,81}$

Подставим значение $\Delta C$ и произведём вычисления:

$C_1 = \frac{0,72 \text{ мкФ}}{197,81} \approx 0,0036398 \text{ мкФ}$

Округлим результат до двух значащих цифр и переведём в нанофарады для удобства ($1 \text{ мкФ} = 1000 \text{ нФ}$):

$C_1 \approx 0,0036 \text{ мкФ} = 3,6 \text{ нФ}$

Ответ: первоначальная ёмкость конденсатора составляет приблизительно $3,6 \text{ нФ}$.