Номер 5.26, страница 108 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.26, страница 108.

Условие.

5.26. Электрический заряд конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени по закону $q = 4 \cdot 10^{-5}\cos (2 \cdot 10^3\pi t + \pi / 4)$ (Кл). Найдите:

а) амплитудное значение силы тока;

б) уравнение зависимости силы тока от времени $i = i(t)$;

в) фазу колебаний заряда спустя 0,5 мс после начала колебаний.

Решение.

Дано:

Закон изменения электрического заряда: $q(t) = 4 \cdot 10^{-5}\cos(2 \cdot 10^3\pi t + \pi/4)$ Кл

Время: $t = 0,5$ мс

Перевод в систему СИ:

$t = 0,5 \cdot 10^{-3}$ с

Найти:

а) Амплитудное значение силы тока $I_m$

б) Уравнение зависимости силы тока от времени $i(t)$

в) Фазу колебаний заряда $\varphi$ в момент времени $\text{t}$

Решение:

Заданное уравнение колебаний заряда имеет вид $q(t) = q_m \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $q_m$ - амплитуда заряда, $\omega$ - циклическая частота, а $\varphi_0$ - начальная фаза.

Сравнивая его с общим видом, находим параметры колебаний:

Амплитуда заряда: $q_m = 4 \cdot 10^{-5}$ Кл

Циклическая частота: $\omega = 2 \cdot 10^3\pi$ рад/с

Начальная фаза: $\varphi_0 = \pi/4$ рад

а) амплитудное значение силы тока

Сила тока $\text{i}$ является первой производной заряда $\text{q}$ по времени: $i(t) = q'(t)$. Амплитудное значение силы тока $I_m$ можно найти по формуле $I_m = q_m \cdot \omega$.

Подставим известные значения:

$I_m = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Кл} \cdot 2 \cdot 10^3\pi \text{ рад/с} = 8 \cdot 10^{-2}\pi \text{ А} = 0,08\pi$ А.

Для численной оценки: $I_m \approx 0,08 \cdot 3,14 \approx 0,2512$ А.

Ответ: $I_m = 0,08\pi \text{ А} \approx 0,25$ А.

б) уравнение зависимости силы тока от времени $i = i(t)$

Чтобы найти уравнение $i(t)$, необходимо взять производную от функции $q(t)$ по времени:

$i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt} (4 \cdot 10^{-5}\cos(2 \cdot 10^3\pi t + \pi/4))$

$i(t) = 4 \cdot 10^{-5} \cdot (-\sin(2 \cdot 10^3\pi t + \pi/4)) \cdot (2 \cdot 10^3\pi)$

$i(t) = -8 \cdot 10^{-2}\pi \sin(2 \cdot 10^3\pi t + \pi/4)$

Для представления в стандартной форме через косинус используем тригонометрическое тождество $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \pi/2)$.

$i(t) = 0,08\pi \cos(2 \cdot 10^3\pi t + \pi/4 + \pi/2)$

$i(t) = 0,08\pi \cos(2 \cdot 10^3\pi t + 3\pi/4)$

Ответ: $i(t) = 0,08\pi \cos(2 \cdot 10^3\pi t + 3\pi/4)$ (в единицах СИ).

в) фазу колебаний заряда спустя 0,5 мс после начала колебаний

Фаза колебаний $\varphi(t)$ — это аргумент функции косинуса в уравнении для заряда $q(t)$:

$\varphi(t) = \omega t + \varphi_0 = 2 \cdot 10^3\pi t + \pi/4$

Подставим в это выражение значение времени $t = 0,5 \text{ мс} = 0,5 \cdot 10^{-3}$ с:

$\varphi = 2 \cdot 10^3\pi \cdot (0,5 \cdot 10^{-3}) + \pi/4$

$\varphi = (2 \cdot 0,5) \cdot (10^3 \cdot 10^{-3})\pi + \pi/4$

$\varphi = 1 \cdot \pi + \pi/4 = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ рад.

Ответ: $\varphi = 5\pi/4$ рад.