Номер 5.36, страница 109 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.36, страница 109.

Условие.

5.36. По графику зависимости заряда на обкладках конденсатора колебательного контура от времени (рис. 5.5) напишите уравнение:

a) $q = q(t);$

б) $i = i(t).$

Решение.

Дано:

График а: зависимость заряда $\text{q}$ (в $10^{-5}$ Кл) от времени $\text{t}$ (в мс).

График б: зависимость заряда $\text{q}$ (в мкКл) от времени $\text{t}$ (в мкс).

Из графика а:

Амплитуда $q_{ma} = 4 \cdot 10^{-5}$ Кл.

Период $T_a = 16$ мс.

Из графика б:

Амплитуда $q_{mb} = 5$ мкКл.

Период $T_b = 4$ мкс.

Перевод в систему СИ:

$T_a = 16 \cdot 10^{-3}$ с.

$q_{mb} = 5 \cdot 10^{-6}$ Кл.

$T_b = 4 \cdot 10^{-6}$ с.

Найти:

а) Уравнения $q=q(t)$ для каждого графика.

б) Уравнения $i=i(t)$ для каждого графика.

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний заряда в колебательном контуре: $q(t) = q_m \sin(\omega t + \phi_0)$ или $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$. Сила тока определяется как производная от заряда по времени: $i(t) = q'(t)$.

а) $q=q(t)$

Для графика а:

Из графика видно, что при $t=0$ заряд $q=0$ и он начинает возрастать. Это соответствует колебаниям по закону синуса с нулевой начальной фазой ($\phi_0=0$). Уравнение имеет вид $q(t) = q_m \sin(\omega t)$.

Найдем циклическую частоту $\omega_a$ через период $T_a$:

$\omega_a = \frac{2\pi}{T_a} = \frac{2\pi}{16 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 125\pi$ рад/с.

Подставив значения амплитуды и частоты, получим искомое уравнение для заряда:

$q_a(t) = 4 \cdot 10^{-5} \sin(125\pi t)$.

Для графика б:

Аналогично, из графика следует, что колебания происходят по закону синуса с нулевой начальной фазой. Уравнение имеет вид $q(t) = q_m \sin(\omega t)$.

Найдем циклическую частоту $\omega_b$ через период $T_b$:

$\omega_b = \frac{2\pi}{T_b} = \frac{2\pi}{4 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = 0.5\pi \cdot 10^6 \text{ рад/с} = 5\pi \cdot 10^5$ рад/с.

Подставив значения, получим уравнение для заряда:

$q_b(t) = 5 \cdot 10^{-6} \sin(5\pi \cdot 10^5 t)$.

Ответ:

Для графика а: $q(t) = 4 \cdot 10^{-5} \sin(125\pi t)$ (Кл).

Для графика б: $q(t) = 5 \cdot 10^{-6} \sin(5\pi \cdot 10^5 t)$ (Кл).

б) $i=i(t)$

Для графика а:

Сила тока $i_a(t)$ является производной от заряда $q_a(t)$ по времени:

$i_a(t) = q_a'(t) = \frac{d}{dt}(4 \cdot 10^{-5} \sin(125\pi t)) = 4 \cdot 10^{-5} \cdot 125\pi \cos(125\pi t) = 5\pi \cdot 10^{-3} \cos(125\pi t)$.

Для графика б:

Сила тока $i_b(t)$ является производной от заряда $q_b(t)$ по времени:

$i_b(t) = q_b'(t) = \frac{d}{dt}(5 \cdot 10^{-6} \sin(5\pi \cdot 10^5 t)) = 5 \cdot 10^{-6} \cdot 5\pi \cdot 10^5 \cos(5\pi \cdot 10^5 t) = 2.5\pi \cos(5\pi \cdot 10^5 t)$.

Ответ:

Для графика а: $i(t) = 5\pi \cdot 10^{-3} \cos(125\pi t)$ (А).

Для графика б: $i(t) = 2.5\pi \cos(5\pi \cdot 10^5 t)$ (А).