Номер 5.35, страница 109 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.35, страница 109.

Условие.

5.35. Заряд конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени, как показано в таблице.

$t, 10^{-6} \text{ с}$: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

$q, 10^{-6} \text{ Кл}$: 2, 1,42, 0, -1,42, -2, -1,42, 0, 1,42, 2, 1,42

Ёмкость конденсатора 2 мкФ. Найдите:

а) уравнение $q = q(t)$;

б) уравнение $i = i(t)$;

в) индуктивность контура.

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, C = 2 мкФ = $2 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Зависимость заряда $\text{q}$ от времени $\text{t}$ представлена в таблице.

Найти:

а) уравнение $q = q(t)$;

б) уравнение $i = i(t)$;

в) индуктивность контура $\text{L}$.

Решение:

а) уравнение q = q(t)

Колебания заряда в идеальном колебательном контуре являются гармоническими и описываются уравнением вида $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $q_m$ - амплитуда заряда, $\omega$ - циклическая частота, $\phi_0$ - начальная фаза.

1. Из таблицы находим максимальное значение заряда, которое является амплитудой: $q_m = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл.

2. В начальный момент времени $t = 0$ заряд на конденсаторе максимален: $q(0) = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл = $q_m$. Это означает, что колебания происходят по закону косинуса, и начальная фаза $\phi_0 = 0$. Уравнение принимает вид $q(t) = q_m \cos(\omega t)$.

3. Определим период колебаний $\text{T}$. Из таблицы видно, что заряд достигает своего максимального значения при $t=0$ и в следующий раз при $t = 8 \cdot 10^{-6}$ с. Следовательно, период колебаний $T = 8 \cdot 10^{-6}$ с.

4. Вычислим циклическую частоту $\omega$ по формуле $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

$\omega = \frac{2\pi}{8 \cdot 10^{-6} \text{ с}} = \frac{\pi}{4} \cdot 10^6$ рад/с.

5. Подставим найденные значения $q_m$ и $\omega$ в общее уравнение:

$q(t) = 2 \cdot 10^{-6} \cos(\frac{\pi}{4} \cdot 10^6 t)$.

Ответ: $q(t) = 2 \cdot 10^{-6} \cos(\frac{\pi}{4} \cdot 10^6 t)$ (Кл).

б) уравнение i = i(t)

Сила тока в контуре $i(t)$ - это первая производная от заряда $q(t)$ по времени: $i(t) = q'(t)$.

Продифференцируем полученное уравнение для заряда:

$i(t) = \frac{d}{dt} (2 \cdot 10^{-6} \cos(\frac{\pi}{4} \cdot 10^6 t)) = -2 \cdot 10^{-6} \cdot (\frac{\pi}{4} \cdot 10^6) \sin(\frac{\pi}{4} \cdot 10^6 t)$.

$i(t) = -\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{4} \cdot 10^6 t)$.

Амплитуда силы тока $I_m = q_m \omega = \frac{\pi}{2}$ А $\approx 1,57$ А.

Ответ: $i(t) = -\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{4} \cdot 10^6 t)$ (А).

в) индуктивность контура

Период свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

Выразим из этой формулы индуктивность $\text{L}$:

$T^2 = 4\pi^2 LC \implies L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.

Подставим известные значения $T = 8 \cdot 10^{-6}$ с и $C = 2 \cdot 10^{-6}$ Ф:

$L = \frac{(8 \cdot 10^{-6})^2}{4\pi^2 (2 \cdot 10^{-6})} = \frac{64 \cdot 10^{-12}}{8\pi^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{8 \cdot 10^{-6}}{\pi^2}$ Гн.

Вычислим приближенное значение, считая $\pi^2 \approx 9,87$:

$L \approx \frac{8 \cdot 10^{-6}}{9,87} \approx 0,81 \cdot 10^{-6}$ Гн, или 0,81 мкГн.

Ответ: $L = \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-6}$ Гн $\approx 0,81$ мкГн.