Номер 5.37, страница 109 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.37, страница 109.

Условие.

5.37. По графику зависимости силы тока в колебательном контуре от времени (рис. 5.6) найдите:

а) частоту колебаний;

б) уравнение $i=i(t)$;

в) уравнение $q=q(t)$.

Рис. 5.6

Решение.

Для графика а:

Дано:

Амплитуда силы тока $I_m = 0.1 \text{ мА} = 0.1 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 10^{-4} \text{ А}$

Период колебаний $T = 0.2 \text{ с}$

Найти:

а) частоту колебаний $\text{v}$

б) уравнение $i = i(t)$

в) уравнение $q = q(t)$

Решение:

а) Частоту колебаний $\text{v}$ можно найти, зная период колебаний $\text{T}$, по формуле:

$v = \frac{1}{T}$

Подставляем значение из графика:

$v = \frac{1}{0.2 \text{ с}} = 5 \text{ Гц}$

Ответ: Частота колебаний равна $5 \text{ Гц}$.

б) Уравнение гармонических колебаний силы тока имеет вид $i(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$.

Из графика видно, что при $t = 0$ сила тока максимальна ($i = I_m$), это соответствует колебаниям по закону косинуса с начальной фазой $\phi_0 = 0$.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2 \text{ с}} = 10\pi \text{ рад/с}$

Амплитуда силы тока $I_m = 10^{-4} \text{ А}$.

Таким образом, уравнение зависимости силы тока от времени:

$i(t) = 10^{-4} \cos(10\pi t)$

Ответ: $i(t) = 10^{-4} \cos(10\pi t)$ (А).

в) Сила тока $\text{i}$ является производной заряда $\text{q}$ по времени: $i(t) = q'(t)$.

Следовательно, для нахождения $q(t)$ нужно взять интеграл от $i(t)$. Если ток изменяется по закону косинуса, то заряд изменяется по закону синуса, то есть колебания заряда отстают по фазе от колебаний тока на $\frac{\pi}{2}$.

Уравнение колебаний заряда: $q(t) = q_m \sin(\omega t)$.

Амплитуда заряда $q_m$ связана с амплитудой тока $I_m$ и циклической частотой $\omega$ соотношением $I_m = q_m \omega$. Отсюда:

$q_m = \frac{I_m}{\omega} = \frac{10^{-4} \text{ А}}{10\pi \text{ рад/с}} = \frac{10^{-5}}{\pi} \text{ Кл}$

Таким образом, уравнение зависимости заряда от времени:

$q(t) = \frac{10^{-5}}{\pi} \sin(10\pi t)$

Ответ: $q(t) = \frac{10^{-5}}{\pi} \sin(10\pi t)$ (Кл).

Для графика б:

Дано:

Амплитуда силы тока $I_m = 10 \text{ мА} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 10^{-2} \text{ А}$

Период колебаний $T = 4 \text{ мс} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

а) частоту колебаний $\text{v}$

б) уравнение $i = i(t)$

в) уравнение $q = q(t)$

Решение:

а) Частоту колебаний $\text{v}$ найдем по формуле:

$v = \frac{1}{T}$

Подставляем значение из графика:

$v = \frac{1}{4 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = \frac{1000}{4} \text{ Гц} = 250 \text{ Гц}$

Ответ: Частота колебаний равна $250 \text{ Гц}$.

б) Уравнение колебаний силы тока имеет вид $i(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$.

При $t = 0$ сила тока максимальна ($i = I_m$), следовательно, колебания происходят по закону косинуса, а начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Циклическая частота $\omega$ равна:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 500\pi \text{ рад/с}$

Амплитуда силы тока $I_m = 10^{-2} \text{ А}$.

Тогда уравнение зависимости силы тока от времени:

$i(t) = 10^{-2} \cos(500\pi t)$

Ответ: $i(t) = 10^{-2} \cos(500\pi t)$ (А).

в) Поскольку $i(t) = q'(t)$, а ток изменяется по закону косинуса, то заряд изменяется по закону синуса: $q(t) = q_m \sin(\omega t)$.

Амплитуда заряда $q_m$ связана с амплитудой тока $I_m$ соотношением $I_m = q_m \omega$.

$q_m = \frac{I_m}{\omega} = \frac{10^{-2} \text{ А}}{500\pi \text{ рад/с}} = \frac{10^{-2}}{0.5 \cdot 10^3 \pi} \text{ Кл} = \frac{2 \cdot 10^{-5}}{\pi} \text{ Кл}$

Таким образом, уравнение зависимости заряда от времени:

$q(t) = \frac{2 \cdot 10^{-5}}{\pi} \sin(500\pi t)$

Ответ: $q(t) = \frac{2 \cdot 10^{-5}}{\pi} \sin(500\pi t)$ (Кл).