Номер 5.40, страница 110 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.40, страница 110.

Условие.

5.40. Напряжение на конденсаторе колебательного контура изменяется по закону $u = 40\sin 10^3t$ (В), а сила тока в контуре $i = 0,2\cos 10^3t$ (А). Найдите ёмкость конденсатора.

Решение.

Дано:

Закон изменения напряжения на конденсаторе: $u = 40\sin(10^3t)$ В

Закон изменения силы тока в контуре: $i = 0.2\cos(10^3t)$ А

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Ёмкость конденсатора $\text{C}$.

Решение:

Сила тока $\text{i}$ в цепи с конденсатором связана с зарядом $\text{q}$ на его обкладках соотношением $i = \frac{dq}{dt}$. В свою очередь, заряд на конденсаторе прямо пропорционален напряжению $\text{u}$ на нём и его ёмкости $\text{C}$: $q = C \cdot u$.

Объединив эти два выражения, получим связь между силой тока и напряжением на конденсаторе:

$i = \frac{d(C \cdot u)}{dt}$

Так как ёмкость $\text{C}$ является постоянной величиной, её можно вынести за знак производной:

$i = C \frac{du}{dt}$

Теперь найдём производную от напряжения по времени, используя данное в условии уравнение $u = 40\sin(10^3t)$:

$\frac{du}{dt} = \frac{d}{dt}(40\sin(10^3t)) = 40 \cdot \cos(10^3t) \cdot (10^3t)' = 40 \cdot 10^3 \cos(10^3t) = 40000\cos(10^3t)$

Подставим полученное выражение для производной в формулу для силы тока:

$i = C \cdot 40000\cos(10^3t)$

Согласно условию задачи, закон изменения силы тока имеет вид $i = 0.2\cos(10^3t)$. Приравняем оба выражения для силы тока:

$C \cdot 40000\cos(10^3t) = 0.2\cos(10^3t)$

Из этого равенства следует, что амплитудные значения должны быть равны:

$C \cdot 40000 = 0.2$

Выразим и вычислим ёмкость $\text{C}$:

$C = \frac{0.2}{40000} = \frac{2}{400000} = \frac{1}{200000} = 0.000005 \text{ Ф}$

Переведём полученное значение в микрофарады ($1 \text{ мкФ} = 10^{-6} \text{ Ф}$):

$C = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 5 \text{ мкФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора равна $\text{5}$ мкФ.