Номер 5.45, страница 111 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания - номер 5.45, страница 111.

Условие.

5.45*. Через какое наименьшее время (в долях периода $\text{T}$) после достижения амплитудного значения $q_m$ заряд конденсатора колебательного контура будет равен $q_m/2$?

Решение.

Дано:

Колебательный контур.

Начальный момент времени ($t_0=0$): заряд конденсатора максимален, $q(0) = q_m$.

Конечный момент времени ($\text{t}$): заряд конденсатора $q(t) = q_m/2$.

Период колебаний: $\text{T}$.

Найти:

Наименьшее время $\text{t}$, через которое заряд станет равен $q_m/2$, выраженное в долях периода $\text{T}$.

Решение:

Колебания заряда на конденсаторе в идеальном колебательном контуре являются гармоническими. Зависимость заряда $\text{q}$ от времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ — амплитуда заряда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Согласно условию, отсчет времени начинается с момента, когда заряд достигает своего амплитудного (максимального) значения. Примем этот момент за $t=0$. Тогда:

$q(0) = q_m$

Подставим это начальное условие в общее уравнение колебаний:

$q_m = q_m \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0)$

$1 = \cos(\phi_0)$

Простейшее решение этого уравнения для начальной фазы — $\phi_0 = 0$. Таким образом, уравнение, описывающее изменение заряда в данном случае, имеет вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

Теперь найдем наименьшее время $t > 0$, через которое заряд конденсатора станет равен $q_m/2$. Для этого подставим $q(t) = q_m/2$ в полученное уравнение:

$\frac{q_m}{2} = q_m \cos(\omega t)$

Сократив $q_m$, получим:

$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$

Наименьший положительный угол, косинус которого равен $1/2$, это $\pi/3$. Следовательно, для нахождения наименьшего положительного времени $\text{t}$ мы должны приравнять аргумент косинуса к этому значению:

$\omega t = \frac{\pi}{3}$

Выразим отсюда время $\text{t}$:

$t = \frac{\pi}{3\omega}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это выражение в формулу для времени:

$t = \frac{\pi}{3 \left(\frac{2\pi}{T}\right)} = \frac{\pi T}{6\pi} = \frac{T}{6}$

Ответ: $t = T/6$.