Номер 5.53, страница 111 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.53, страница 111.

Условие.

5.53. Зависимость силы тока от времени в колебательном контуре выражается уравнением $i = 0,02\sin 500\pi t$ (А). Индуктивность контура 0,1 Гн. Определите:

а) период колебаний;

б) ёмкость контура;

в) максимальную энергию электрического поля.

Решение.

Дано:

Зависимость силы тока от времени: $i = 0,02\sin(500\pi t)$ А

Индуктивность: $L = 0,1$ Гн

Найти:

а) $\text{T}$ - ?

б) $\text{C}$ - ?

в) $W_{E,max}$ - ?

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний силы тока в контуре имеет вид: $i = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — амплитудное (максимальное) значение силы тока, а $\omega$ — циклическая (круговая) частота колебаний.

Сравнивая это уравнение с заданным в условии $i = 0,02\sin(500\pi t)$, находим:

Амплитуда силы тока: $I_m = 0,02$ А.

Циклическая частота: $\omega = 500\pi$ рад/с.

а) период колебаний

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим значение циклической частоты из уравнения тока:

$T = \frac{2\pi}{500\pi} = \frac{2}{500} = 0,004$ с.

Ответ: $T = 0,004$ с.

б) ёмкость контура

Циклическая частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Чтобы найти ёмкость контура $\text{C}$, выразим её из этой формулы:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies C = \frac{1}{\omega^2 L}$

Подставим известные числовые значения $\omega$ и $\text{L}$:

$C = \frac{1}{(500\pi)^2 \cdot 0,1} = \frac{1}{250000\pi^2 \cdot 0,1} = \frac{1}{25000\pi^2} \approx 4,1 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Ответ: $C \approx 4,1$ мкФ.

в) максимальную энергию электрического поля

В колебательном контуре полная энергия сохраняется. Она периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Следовательно, максимальная энергия электрического поля $W_{E,max}$ равна максимальной энергии магнитного поля $W_{M,max}$.

$W_{E,max} = W_{M,max}$

Максимальная энергия магнитного поля катушки достигается, когда ток в ней максимален (равен амплитудному значению $I_m$), и вычисляется по формуле:

$W_{M,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Подставим значения индуктивности $\text{L}$ и амплитуды силы тока $I_m$:

$W_{E,max} = \frac{0,1 \text{ Гн} \cdot (0,02 \text{ А})^2}{2} = \frac{0,1 \cdot 0,0004}{2} = \frac{0,00004}{2} = 0,00002$ Дж.

Ответ: $W_{E,max} = 2 \cdot 10^{-5}$ Дж.