Номер 5.56, страница 112 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.56, страница 112.

Условие.

5.56. Катушка индуктивностью $31 \text{ мГн}$ присоединена к плоскому конденсатору с площадью каждой пластины $20 \text{ см}^2$ и расстоянием между ними $1 \text{ см}$. Найдите диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если амплитуда колебаний силы тока в контуре $0,2 \text{ мА}$, а амплитуда колебаний напряжения $10 \text{ В}$.

Решение.

Дано:

$L = 31 \text{ мГн}$

$S = 20 \text{ см}^2$

$d = 1 \text{ см}$

$I_m = 0,2 \text{ мА}$

$U_m = 10 \text{ В}$

$\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Перевод в систему СИ:

$L = 31 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$S = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$d = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$I_m = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ А}$

Найти:

$\epsilon$

Решение:

Задача описывает электромагнитные колебания в идеальном LC-контуре. В таком контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{L,max}$ в процессе колебаний равна максимальной энергии электрического поля конденсатора $W_{C,max}$.

Максимальная энергия магнитного поля катушки определяется по формуле:

$W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Максимальная энергия электрического поля конденсатора определяется по формуле:

$W_{C,max} = \frac{C U_m^2}{2}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, $I_m$ – амплитуда силы тока, $\text{C}$ – ёмкость конденсатора, $U_m$ – амплитуда напряжения.

Из закона сохранения энергии следует:

$W_{L,max} = W_{C,max}$

$\frac{L I_m^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2}$

Отсюда можно выразить ёмкость конденсатора $\text{C}$:

$L I_m^2 = C U_m^2 \implies C = L \frac{I_m^2}{U_m^2}$

С другой стороны, ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком между пластинами определяется формулой:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $\text{S}$ – площадь пластины, $\text{d}$ – расстояние между пластинами.

Приравняем два выражения для ёмкости и выразим искомую диэлектрическую проницаемость $\epsilon$:

$L \frac{I_m^2}{U_m^2} = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

$\epsilon = \frac{L I_m^2 d}{\epsilon_0 S U_m^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\epsilon = \frac{(31 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}) \cdot (2 \cdot 10^{-4} \text{ А})^2 \cdot (1 \cdot 10^{-2} \text{ м})}{(8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2) \cdot (10 \text{ В})^2}$

$\epsilon = \frac{31 \cdot 10^{-3} \cdot 4 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{-2}}{8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 100} = \frac{124 \cdot 10^{-13}}{17,7 \cdot 10^{-13}} \approx 7,0056$

Округляя, получаем $\epsilon \approx 7$.

Ответ: диэлектрическая проницаемость среды равна 7.