Номер 5.62, страница 112 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.62, страница 112.

Условие.

5.62*. Контур содержит конденсатор ёмкостью $6 \text{ мкФ}$ и две катушки индуктивностью $L_1 = 600 \text{ мГн}$ и $L_2 = 400 \text{ мГн}$ (рис. 5.9). Какова будет амплитуда колебаний силы тока в контуре, если конденсатор зарядить до напряжения $100 \text{ В}$ и замкнуть ключ К?

Рис. 5.9

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 6$ мкФ $= 6 \cdot 10^{-6}$ Ф

Индуктивность первой катушки, $L_1 = 600$ мГн $= 600 \cdot 10^{-3}$ Г $= 0.6$ Г

Индуктивность второй катушки, $L_2 = 400$ мГн $= 400 \cdot 10^{-3}$ Г $= 0.4$ Г

Начальное напряжение на конденсаторе, $U = 100$ В

Найти:

Амплитуду колебаний силы тока в контуре, $I_m$

Решение:

После замыкания ключа K образуется колебательный контур, состоящий из конденсатора C и двух катушек индуктивности $L_1$ и $L_2$, соединенных параллельно. В этом контуре будут происходить электромагнитные колебания.

В начальный момент времени, когда конденсатор полностью заряжен, а ток в контуре отсутствует, вся энергия системы сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Эта энергия вычисляется по формуле:

$W_C = \frac{C U^2}{2}$

В процессе колебаний энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушек, и обратно. В момент, когда ток в контуре достигает своего максимального (амплитудного) значения $I_m$, напряжение на конденсаторе (и, следовательно, его энергия) равно нулю. В этот момент вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушек:

$W_L = \frac{L_{общ} I_m^2}{2}$

Здесь $L_{общ}$ — это общая (эквивалентная) индуктивность двух катушек, соединенных параллельно. Она находится по формуле:

$\frac{1}{L_{общ}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$

Отсюда $L_{общ} = \frac{L_1 L_2}{L_1 + L_2}$

Согласно закону сохранения энергии для идеального колебательного контура (без учета потерь энергии), максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля:

$W_{C_{max}} = W_{L_{max}}$

$\frac{C U^2}{2} = \frac{L_{общ} I_m^2}{2}$

Из этого равенства можно выразить амплитуду силы тока $I_m$:

$C U^2 = L_{общ} I_m^2$

$I_m = U \sqrt{\frac{C}{L_{общ}}}$

Подставим в эту формулу выражение для общей индуктивности:

$I_m = U \sqrt{\frac{C(L_1 + L_2)}{L_1 L_2}}$

Теперь проведем вычисления. Сначала найдем общую индуктивность:

$L_{общ} = \frac{0.6 \text{ Г} \cdot 0.4 \text{ Г}}{0.6 \text{ Г} + 0.4 \text{ Г}} = \frac{0.24 \text{ Г}^2}{1.0 \text{ Г}} = 0.24 \text{ Г}$

Теперь рассчитаем амплитуду тока:

$I_m = 100 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{6 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{0.24 \text{ Г}}} = 100 \cdot \sqrt{25 \cdot 10^{-6} \frac{\text{Ф}}{\text{Г}}} = 100 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.5 \text{ А}$

Ответ: амплитуда колебаний силы тока в контуре будет равна 0.5 А.