Номер 5.68, страница 114 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.68, страница 114.

Условие.

5.68*. Заряженный конденсатор ёмкостью 2 мкФ подключили к катушке индуктивностью 80 мГн. Через какое время от момента подключения энергия электрического поля станет равна энергии магнитного поля?

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора $C = 2 \text{ мкФ}$

Индуктивность катушки $L = 80 \text{ мГн}$

$C = 2 \times 10^{-6} \text{ Ф}$
$L = 80 \times 10^{-3} \text{ Гн} = 8 \times 10^{-2} \text{ Гн}$

Найти:

Время $\text{t}$, через которое энергия электрического поля $W_E$ станет равна энергии магнитного поля $W_M$.

Решение:

При подключении заряженного конденсатора к катушке индуктивности образуется идеальный колебательный контур (LC-контур), в котором происходят незатухающие электромагнитные колебания. Полная энергия в таком контуре сохраняется и периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно.

Энергия электрического поля конденсатора в момент времени $\text{t}$ равна:

$W_E = \frac{q(t)^2}{2C}$

Энергия магнитного поля катушки в тот же момент времени:

$W_M = \frac{L i(t)^2}{2}$

где $q(t)$ — заряд на конденсаторе, а $i(t)$ — сила тока в катушке.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура постоянна:

$W_{полная} = W_E + W_M = \text{const}$

В начальный момент ($t=0$) конденсатор полностью заряжен, его заряд максимален ($Q_{max}$), а ток в цепи отсутствует ($i=0$). Следовательно, вся энергия контура является электрической и равна своему максимальному значению:

$W_{полная} = W_{E, max} = \frac{Q_{max}^2}{2C}$

По условию задачи, требуется найти время $\text{t}$, когда энергия электрического поля станет равна энергии магнитного поля:

$W_E = W_M$

Подставим это условие в закон сохранения энергии:

$W_{полная} = W_E + W_E = 2W_E$

Из этого следует, что в искомый момент времени энергия электрического поля составляет половину от полной (максимальной) энергии:

$W_E = \frac{1}{2}W_{полная} = \frac{1}{2}W_{E, max}$

Теперь подставим формулы для энергии:

$\frac{q(t)^2}{2C} = \frac{1}{2}\frac{Q_{max}^2}{2C}$

Отсюда получаем, что квадрат заряда должен быть равен половине квадрата максимального заряда:

$q(t)^2 = \frac{Q_{max}^2}{2} \implies q(t) = \pm \frac{Q_{max}}{\sqrt{2}}$

Заряд на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону. Поскольку в начальный момент времени заряд максимален, закон изменения заряда имеет вид:

$q(t) = Q_{max} \cos(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая частота колебаний. Приравнивая два выражения для $q(t)$, получаем:

$Q_{max} \cos(\omega t) = \pm \frac{Q_{max}}{\sqrt{2}}$

$\cos(\omega t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Нам нужно найти наименьшее положительное время $\text{t}$, для которого это равенство выполняется. Наименьший положительный угол, косинус которого по модулю равен $\frac{1}{\sqrt{2}}$, это $\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\omega t = \frac{\pi}{4}$, откуда $t = \frac{\pi}{4\omega}$.

Циклическая частота колебаний в LC-контуре связана с периодом $\text{T}$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$, а сам период определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Тогда искомое время можно выразить через период:

$t = \frac{\pi}{4 \cdot (2\pi/T)} = \frac{T}{8}$

Вычислим период колебаний, подставив данные задачи:

$T = 2\pi\sqrt{8 \cdot 10^{-2} \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{16 \cdot 10^{-8} \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 4 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 8\pi \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Теперь найдем время $\text{t}$:

$t = \frac{T}{8} = \frac{8\pi \cdot 10^{-4} \text{ с}}{8} = \pi \cdot 10^{-4} \text{ с}$

Приближенное значение времени:

$t \approx 3,14 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 0,314 \text{ мс}$

Ответ: $t = \pi \cdot 10^{-4} \text{ с} \approx 0,314 \text{ мс}$.