Номер 5.70, страница 114 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.70, страница 114.

Условие.

5.70*. Катушка, имеющая 100 витков площадью $5 \text{ см}^2$, помещена в однородное магнитное поле так, что плоскость каждого витка перпендикулярна вектору индукции. Катушка замкнута на конденсатор ёмкостью $4 \text{ мкФ}$ (рис. 5.13). Найдите максимальный заряд конденсатора, если индукция магнитного поля будет убывать со скоростью $20 \text{ Тл/с}$. Время спадания магнитного поля много больше периода колебаний в контуре.

Рис. 5.13

Решение.

Дано:

Число витков, $N = 100$

Площадь витка, $S = 5 \text{ см}^2$

Емкость конденсатора, $C = 4 \text{ мкФ}$

Скорость убывания индукции магнитного поля, $\left| \frac{dB}{dt} \right| = 20 \text{ Тл/с}$

Перевод в систему СИ:
$S = 5 \text{ см}^2 = 5 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$
$C = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Максимальный заряд конденсатора, $q_{max}$ - ?

Решение:

Изменение магнитного потока через катушку приводит к возникновению в ней электродвижущей силы (ЭДС) индукции. Магнитный поток $\Phi$ через катушку, имеющую $\text{N}$ витков, определяется как:

$\Phi = N \cdot B \cdot S \cdot \cos\alpha$

где $\text{B}$ – индукция магнитного поля, $\text{S}$ – площадь одного витка, а $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витка. Согласно условию задачи, плоскость каждого витка перпендикулярна вектору индукции. Это означает, что нормаль к плоскости витка параллельна вектору $\vec{B}$, поэтому угол $\alpha = 0^\circ$ и $\cos\alpha = 1$. Таким образом, магнитный поток равен:

$\Phi = N \cdot B \cdot S$

В соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$, возникающая в катушке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}_i = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d(NBS)}{dt}$

Поскольку число витков $\text{N}$ и площадь витков $\text{S}$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак производной:

$\mathcal{E}_i = -NS \frac{dB}{dt}$

Так как индукция магнитного поля убывает с постоянной скоростью, величина $\frac{dB}{dt}$ является постоянной и отрицательной. Модуль ЭДС индукции будет постоянным и равным:

$|\mathcal{E}_i| = NS \left| \frac{dB}{dt} \right|$

Возникшая ЭДС индукции действует в контуре как источник постоянного напряжения, который заряжает конденсатор. По условию, время спадания поля много больше периода колебаний в контуре, что позволяет рассматривать процесс как квазистационарный. Это значит, что конденсатор зарядится до напряжения, равного ЭДС индукции: $U_{max} = |\mathcal{E}_i|$.

Заряд конденсатора $\text{q}$ связан с напряжением на нем $U_C$ и его емкостью $\text{C}$ формулой $q = C \cdot U_C$. Максимальный заряд на конденсаторе будет достигнут при максимальном напряжении:

$q_{max} = C \cdot U_{max} = C \cdot |\mathcal{E}_i| = C \cdot N \cdot S \cdot \left| \frac{dB}{dt} \right|$

Произведем вычисления, подставив числовые значения:

$q_{max} = (4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot 100 \cdot (5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (20 \text{ Тл/с})$

$q_{max} = 4 \cdot 10^{-6} \cdot 100 \cdot 5 \cdot 10^{-4} \cdot 20 = (4 \cdot 100 \cdot 5 \cdot 20) \cdot 10^{-10} \text{ Кл}$

$q_{max} = 40000 \cdot 10^{-10} \text{ Кл} = 4 \cdot 10^4 \cdot 10^{-10} \text{ Кл} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Таким образом, максимальный заряд конденсатора составляет $4 \cdot 10^{-6}$ Кл, что равно 4 мкКл.

Ответ: $q_{max} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 4 \text{ мкКл}$.