Номер 5.76, страница 115 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.76, страница 115.

Условие.

5.76* Частота свободных колебаний в контуре 250 кГц. Определите ёмкость контура, если индуктивность контура 0,024 мГн и активное сопротивление 34 Ом.

Решение.

Дано:

Частота свободных колебаний $f = 250$ кГц

Индуктивность контура $L = 0,024$ мГн

Активное сопротивление $R = 34$ Ом

Перевод в систему СИ:

$f = 250 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 2,5 \cdot 10^5 \text{ Гц}$

$L = 0,024 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 2,4 \cdot 10^{-5} \text{ Гн}$

$R = 34 \text{ Ом}$

Найти:

Ёмкость контура $\text{C}$

Решение:

Поскольку в задаче указано активное сопротивление, речь идет о затухающих колебаниях в реальном RLC-контуре. Частота свободных затухающих колебаний связана с параметрами контура следующим соотношением для циклической частоты $\omega$:

$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$

где $\text{L}$ — индуктивность, $\text{C}$ — ёмкость, $\text{R}$ — активное сопротивление.

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ формулой $\omega = 2\pi f$. Подставим это выражение в основную формулу:

$2\pi f = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$

Чтобы найти ёмкость $\text{C}$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi f)^2 = \frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}$

$4\pi^2 f^2 = \frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}$

Теперь выразим из этого уравнения член, содержащий искомую ёмкость:

$\frac{1}{LC} = 4\pi^2 f^2 + \frac{R^2}{4L^2}$

Отсюда находим ёмкость $\text{C}$:

$C = \frac{1}{L \left( 4\pi^2 f^2 + \frac{R^2}{4L^2} \right)}$

Подставим числовые значения из условия задачи в системе СИ:

$C = \frac{1}{2,4 \cdot 10^{-5} \left( 4\pi^2 \cdot (2,5 \cdot 10^5)^2 + \frac{34^2}{4 \cdot (2,4 \cdot 10^{-5})^2} \right)}$

Вычислим значения слагаемых в скобках:

$4\pi^2 f^2 \approx 4 \cdot (3,1416)^2 \cdot (2,5 \cdot 10^5)^2 \approx 4 \cdot 9,8696 \cdot 6,25 \cdot 10^{10} \approx 2,467 \cdot 10^{12} \text{ (рад/с)}^2$

$\frac{R^2}{4L^2} = \frac{34^2}{4 \cdot (2,4 \cdot 10^{-5})^2} = \frac{1156}{4 \cdot 5,76 \cdot 10^{-10}} = \frac{1156}{23,04 \cdot 10^{-10}} \approx 0,502 \cdot 10^{12} \text{ (рад/с)}^2$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в формулу для ёмкости:

$C = \frac{1}{2,4 \cdot 10^{-5} \cdot (2,467 \cdot 10^{12} + 0,502 \cdot 10^{12})} = \frac{1}{2,4 \cdot 10^{-5} \cdot 2,969 \cdot 10^{12}}$

$C = \frac{1}{7,1256 \cdot 10^7} \approx 0,1403 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$C \approx 1,4 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Этот результат можно представить в нанофарадах ($1 \text{ нФ} = 10^{-9} \text{ Ф}$):

$C \approx 14 \text{ нФ}$

Ответ: ёмкость контура составляет приблизительно $1,4 \cdot 10^{-8}$ Ф или 14 нФ.