Номер 5.83, страница 116 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.83, страница 116.

Условие.

5.83. Рамка площадью $3 \cdot 10^3 \text{ см}^2$ имеет 200 витков и вращается в однородном магнитном поле с индукцией $0,15 \text{ мТл}$. Определите период обращения рамки, если амплитуда наводимой в ней ЭДС индукции $1,5 \text{ В}$.

Решение.

Дано:

Площадь рамки $S = 3 \cdot 10^3 \text{ см}^2$

Число витков $N = 200$

Магнитная индукция $B = 0,15 \text{ мТл}$

Амплитуда ЭДС индукции $\mathcal{E}_{max} = 1,5 \text{ В}$

Перевод в систему СИ:

$S = 3 \cdot 10^3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^3 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 3 \cdot 10^3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,3 \text{ м}^2$

$B = 0,15 \text{ мТл} = 0,15 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

Период обращения рамки $\text{T}$

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток $\Phi$, пронизывающий все витки рамки, изменяется со временем по гармоническому закону:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\text{N}$ - число витков, $\text{B}$ - индукция магнитного поля, $\text{S}$ - площадь рамки, а $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$.

При равномерном вращении рамки с угловой скоростью $\omega$, угол $\alpha$ изменяется со временем как $\alpha = \omega t$. Тогда выражение для магнитного потока принимает вид:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, наводимая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} (N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Вычисляем производную по времени:

$\mathcal{E}(t) = - N \cdot B \cdot S \cdot (-\omega \cdot \sin(\omega t)) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Амплитуда ЭДС индукции $\mathcal{E}_{max}$ - это максимальное значение $\mathcal{E}(t)$, которое достигается, когда $\sin(\omega t) = 1$. Таким образом:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в формулу для амплитуды ЭДС:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \frac{2\pi}{T}$

Выразим из этой формулы искомый период $\text{T}$:

$T = \frac{N \cdot B \cdot S \cdot 2\pi}{\mathcal{E}_{max}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$T = \frac{200 \cdot 0,15 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \cdot 0,3 \text{ м}^2 \cdot 2\pi}{1,5 \text{ В}}$

$T = \frac{200 \cdot 0,15 \cdot 0,3 \cdot 2\pi}{1,5} \cdot 10^{-3} = \frac{18\pi}{1,5} \cdot 10^{-3} = 12\pi \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Вычислим окончательное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$T \approx 12 \cdot 3,14 \cdot 10^{-3} \text{ с} \approx 37,68 \cdot 10^{-3} \text{ с} \approx 0,038 \text{ с}$

Ответ: $T \approx 0,038 \text{ с}$.