Номер 5.86, страница 116 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.86, страница 116.

Условие.

5.86. Рамка из 200 витков площадью $100 \text{ см}^2$ равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией 0,15 Тл. В рамке наводится ЭДС с амплитудой 1,5 В. Найдите ЭДС индукции в рамке спустя $\pi/30 \text{ с}$ после начала вращения, если в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции.

Решение.

Дано:

Число витков, $N = 200$
Площадь рамки, $S = 100 \text{ см}^2$
Магнитная индукция, $B = 0,15 \text{ Тл}$
Амплитуда ЭДС, $\mathcal{E}_{max} = 1,5 \text{ В}$
Время, $t = \pi/30 \text{ с}$
Начальное условие: в момент $t=0$ плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции.

Перевод в систему СИ:
$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,01 \text{ м}^2$

Найти:

$\mathcal{E}(t)$ - мгновенное значение ЭДС индукции в момент времени $\text{t}$.

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется со временем по закону:
$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$
где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$. При равномерном вращении с угловой скоростью $\omega$, угол $\alpha$ изменяется как $\alpha = \omega t + \alpha_0$.

По закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции в рамке равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:
$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} (NBS \cos(\omega t + \alpha_0)) = NBS\omega \sin(\omega t + \alpha_0)$

Из условия задачи, в начальный момент времени ($t=0$) плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Это означает, что нормаль к плоскости рамки параллельна вектору магнитной индукции, следовательно, начальный угол $\alpha_0 = 0$.
Таким образом, зависимость ЭДС от времени имеет вид:
$\mathcal{E}(t) = NBS\omega \sin(\omega t)$

Амплитуда ЭДС (максимальное значение) достигается, когда $\sin(\omega t) = 1$:
$\mathcal{E}_{max} = NBS\omega$
Тогда мгновенное значение ЭДС можно выразить через амплитудное:
$\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$

Найдем угловую скорость вращения $\omega$ из формулы для амплитуды ЭДС:
$\omega = \frac{\mathcal{E}_{max}}{NBS}$
Подставим числовые значения:
$\omega = \frac{1,5 \text{ В}}{200 \cdot 0,15 \text{ Тл} \cdot 0,01 \text{ м}^2} = \frac{1,5}{0,3} = 5 \text{ рад/с}$

Теперь можем найти мгновенное значение ЭДС в момент времени $t = \pi/30 \text{ с}$:
$\mathcal{E}(\pi/30) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t) = 1,5 \text{ В} \cdot \sin(5 \frac{\text{рад}}{\text{с}} \cdot \frac{\pi}{30} \text{ с})$
$\mathcal{E}(\pi/30) = 1,5 \cdot \sin(\frac{5\pi}{30}) = 1,5 \cdot \sin(\frac{\pi}{6})$

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, получаем:
$\mathcal{E}(\pi/30) = 1,5 \cdot 0,5 = 0,75 \text{ В}$

Ответ: $0,75 \text{ В}$.