Номер 5.84, страница 116 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.84, страница 116.

Условие.

5.84. Рамка площадью $200 \text{ см}^2$ вращается с частотой $8 \text{ об/с}$ в магнитном поле с индукцией $0,4 \text{ Тл}$. Напишите уравнения $\Phi = \Phi(t)$ и $e = e(t)$, если при $t = 0$ нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям индукции поля.

Решение.

Дано

$S = 200 \text{ см}^2 = 200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.02 \text{ м}^2$

$f = 8 \text{ об/с} = 8 \text{ Гц}$

$B = 0.4 \text{ Тл}$

При $t=0$, угол между нормалью $\vec{n}$ и вектором $\vec{B}$ равен $\alpha_0 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ рад.

Найти:

$\Phi(t) - ?$

$e(t) - ?$

Решение

Уравнение $\Phi = \Phi(t)$

Магнитный поток $\Phi$, пронизывающий контур рамки, определяется выражением:

$\Phi = B S \cos(\alpha)$

где $\text{B}$ – индукция магнитного поля, $\text{S}$ – площадь рамки, а $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали к плоскости рамки $\vec{n}$.

Поскольку рамка вращается с постоянной частотой $\text{f}$, угол $\alpha$ изменяется со временем по линейному закону:

$\alpha(t) = \omega t + \alpha_0$

где $\omega$ – циклическая (угловая) частота вращения, а $\alpha_0$ – начальная фаза (угол при $t=0$).

Циклическая частота связана с частотой вращения $\text{f}$ соотношением:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 8 \text{ с}^{-1} = 16\pi \text{ рад/с}$

Из условия задачи, при $t=0$ нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Это означает, что начальный угол $\alpha_0 = 90^\circ$ или $\alpha_0 = \frac{\pi}{2}$ рад.

Подставим зависимость угла от времени в формулу для магнитного потока:

$\Phi(t) = B S \cos(\omega t + \alpha_0) = B S \cos(16\pi t + \frac{\pi}{2})$

Применяя формулу приведения $\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)$, получаем:

$\Phi(t) = -B S \sin(16\pi t)$

Рассчитаем амплитуду магнитного потока $\Phi_m$:

$\Phi_m = B S = 0.4 \text{ Тл} \cdot 0.02 \text{ м}^2 = 0.008 \text{ Вб}$

Таким образом, уравнение зависимости магнитного потока (в Вб) от времени (в с) имеет вид:

Ответ: $\Phi(t) = -0.008 \sin(16\pi t)$

Уравнение $e = e(t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\text{e}$, возникающая в рамке, равна производной от магнитного потока по времени, взятой с обратным знаком:

$e(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt}$

Возьмем производную от найденной функции $\Phi(t)$:

$e(t) = - \frac{d}{dt}(-0.008 \sin(16\pi t)) = 0.008 \cdot \frac{d}{dt}(\sin(16\pi t))$

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$e(t) = 0.008 \cdot \cos(16\pi t) \cdot (16\pi t)' = 0.008 \cdot 16\pi \cdot \cos(16\pi t)$

$e(t) = 0.128\pi \cos(16\pi t)$

Амплитудное значение ЭДС индукции $e_m$ равно:

$e_m = 0.128\pi \text{ В} \approx 0.402 \text{ В}$

Таким образом, уравнение зависимости ЭДС индукции (в В) от времени (в с) имеет вид:

Ответ: $e(t) = 0.128\pi \cos(16\pi t)$