Номер 5.82, страница 115 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Переменный ток - номер 5.82, страница 115.

Условие.

5.82. Сколько витков имеет рамка площадью $500 \text{ см}^2$, если при вращении её с частотой $20 \text{ об/с}$ в однородном магнитном поле с индукцией $0,1 \text{ Тл}$ амплитуда ЭДС индукции равна $63 \text{ В}$?

Решение.

Дано:

$S = 500 \text{ см}^2$
$\nu = 20 \text{ об/с}$
$B = 0,1 \text{ Тл}$
$\mathcal{E}_{max} = 63 \text{ В}$

$S = 500 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,05 \text{ м}^2$
$\nu = 20 \text{ Гц}$

Найти:

$\text{N}$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле, определяется по закону электромагнитной индукции Фарадея:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt}$

где $\Phi$ — магнитный поток. Магнитный поток через рамку, имеющую $\text{N}$ витков, площадью $\text{S}$, помещенную в магнитное поле с индукцией $\text{B}$, равен:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

Здесь $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки. При равномерном вращении рамки с угловой скоростью $\omega$ этот угол изменяется со временем по закону $\alpha = \omega t$. Тогда:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Найдем производную магнитного потока по времени, чтобы определить ЭДС индукции:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt}(N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)) = -NBS(-\sin(\omega t) \cdot \omega) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Амплитуда ЭДС индукции $\mathcal{E}_{max}$ — это максимальное значение $\mathcal{E}(t)$, которое достигается, когда $\sin(\omega t) = 1$. Таким образом:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставим это выражение в формулу для амплитуды ЭДС:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot 2\pi\nu$

Выразим из этой формулы искомое число витков $\text{N}$:

$N = \frac{\mathcal{E}_{max}}{2\pi\nu B S}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$N = \frac{63}{2\pi \cdot 20 \cdot 0,1 \cdot 0,05} = \frac{63}{2\pi \cdot (20 \cdot 0,005)} = \frac{63}{2\pi \cdot 0,1} = \frac{63}{0,2\pi} = \frac{315}{\pi}$

Вычислим значение, используя $\pi \approx 3,14159$:

$N \approx \frac{315}{3,14159} \approx 100,27$

Так как число витков должно быть целым, а полученное значение очень близко к 100, округлим результат до целого числа. Расхождение, вероятно, связано с округлением исходных данных в условии задачи.

Ответ: 100 витков.