Номер 5.69, страница 114 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.69, страница 114.

Условие.

5.69*. Конденсатор ёмкостью 1 мкФ зарядили до напряжения 100 В и подключили к катушке индуктивностью 10 мГн. Определите энергию конденсатора через $10^{-3}\pi$ с после замыкания.

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Начальное напряжение на конденсаторе, $U_{max} = 100 \text{ В}$

Индуктивность катушки, $L = 10 \text{ мГн} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн}$

Время, $t = 10^{-3}\pi \text{ с}$

Найти:

Энергию конденсатора в момент времени t, $W_C(t)$

Решение:

При подключении заряженного конденсатора к катушке индуктивности образуется идеальный колебательный LC-контур (предполагаем, что активное сопротивление отсутствует). В этом контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания.

В начальный момент времени $t=0$ конденсатор полностью заряжен, а ток в цепи равен нулю. Это означает, что напряжение на конденсаторе максимально. Зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени в таком случае описывается функцией косинуса:

$u(t) = U_{max} \cos(\omega t)$

где $U_{max}$ — амплитудное (начальное) значение напряжения, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Циклическая частота свободных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Вычислим циклическую частоту для данных параметров контура:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{10^{-2} \text{ Гн} \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-8} \text{ с}^2}} = \frac{1}{10^{-4} \text{ с}} = 10^4 \text{ рад/с}$

Теперь мы можем определить напряжение на конденсаторе в заданный момент времени $t = 10^{-3}\pi$ с:

$u(t) = 100 \text{ В} \cdot \cos(10^4 \frac{\text{рад}}{\text{с}} \cdot 10^{-3}\pi \text{ с}) = 100 \cdot \cos(10\pi \text{ рад})$

Значение косинуса для аргумента, кратного $2\pi$, равно единице. Так как $10\pi = 5 \cdot (2\pi)$, то $\cos(10\pi) = 1$.

Следовательно, напряжение на конденсаторе в данный момент времени равно начальному напряжению:

$u(t) = 100 \text{ В} \cdot 1 = 100 \text{ В}$

Это означает, что за время $\text{t}$ система совершила ровно 5 полных колебаний и вернулась в исходное состояние, когда вся энергия контура снова сосредоточена в электрическом поле конденсатора.

Энергия конденсатора в любой момент времени $\text{t}$ вычисляется по формуле:

$W_C(t) = \frac{C u(t)^2}{2}$

Подставим значения, чтобы найти энергию в момент времени $t = 10^{-3}\pi$ с:

$W_C(t) = \frac{10^{-6} \text{ Ф} \cdot (100 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-6} \cdot 10^4}{2} = \frac{10^{-2}}{2} = 0.005 \text{ Дж}$

Переводя в миллиджоули, получаем $0.005 \text{ Дж} = 5 \text{ мДж}$.

Ответ: энергия конденсатора через $10^{-3}\pi$ с после замыкания составит 5 мДж.