Номер 5.73, страница 114 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.73, страница 114.

Условие.

5.73*. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью $48\ \text{мкФ}$ и катушки индуктивностью $24\ \text{мГн}$ с активным сопротивлением $20\ \text{Ом}$.

а) Определите частоту свободных электромагнитных колебаний в этом контуре1. На сколько изменится частота колебаний, если пренебречь активным сопротивлением катушки?

б) При каком наименьшем значении активного сопротивления свободные колебания в контуре не возникнут?

Решение.

Дано:

$C = 48 \text{ мкФ} = 48 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$L = 24 \text{ мГн} = 24 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$R = 20 \text{ Ом}$

Найти:

а) $\nu, \Delta\nu$

б) $R_{min}$

Решение:

а) Определите частоту свободных электромагнитных колебаний в этом контуре. На сколько изменится частота колебаний, если пренебречь активным сопротивлением катушки?

Циклическая частота затухающих колебаний в RLC-контуре определяется формулой:
$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$
Тогда линейная частота $\nu$ равна:
$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$
Подставим числовые значения:
$\nu = \frac{1}{2 \cdot 3.14}\sqrt{\frac{1}{24 \cdot 10^{-3} \cdot 48 \cdot 10^{-6}} - \frac{20^2}{4 \cdot (24 \cdot 10^{-3})^2}} = \frac{1}{6.28}\sqrt{\frac{1}{1.152 \cdot 10^{-6}} - \frac{400}{4 \cdot 5.76 \cdot 10^{-4}}} \approx \frac{1}{6.28}\sqrt{868056 - 173611} = \frac{1}{6.28}\sqrt{694445} \approx \frac{833.3}{6.28} \approx 132.7 \text{ Гц}$
Если пренебречь активным сопротивлением ($R=0$), контур становится идеальным. Частота колебаний в идеальном контуре ($\nu_0$) находится по формуле Томсона:
$\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
Подставим значения:
$\nu_0 = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{24 \cdot 10^{-3} \cdot 48 \cdot 10^{-6}}} = \frac{1}{6.28 \cdot \sqrt{1.152 \cdot 10^{-6}}} \approx \frac{1}{6.28 \cdot 1.073 \cdot 10^{-3}} \approx 148.3 \text{ Гц}$
Изменение частоты составит:
$\Delta\nu = \nu_0 - \nu = 148.3 - 132.7 = 15.6 \text{ Гц}$
Ответ: Частота колебаний в контуре с сопротивлением составляет примерно $132.7 \text{ Гц}$. Если пренебречь активным сопротивлением, частота увеличится на $15.6 \text{ Гц}$.

б) При каком наименьшем значении активного сопротивления свободные колебания в контуре не возникнут?

Свободные колебания в контуре возникают только тогда, когда подкоренное выражение в формуле для циклической частоты положительно:
$\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2} > 0$
Колебания прекращаются, когда процесс становится апериодическим. Критический случай (граница между колебательным и апериодическим режимами) наступает, когда подкоренное выражение равно нулю. Найдем это критическое сопротивление $R_{кр}$:
$\frac{1}{LC} = \frac{R_{кр}^2}{4L^2}$
Отсюда выражаем $R_{кр}$:
$R_{кр}^2 = \frac{4L^2}{LC} = \frac{4L}{C}$
$R_{кр} = \sqrt{\frac{4L}{C}} = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$
Это и есть наименьшее значение сопротивления, при котором колебания не возникнут. Подставим значения:
$R_{кр} = 2\sqrt{\frac{24 \cdot 10^{-3}}{48 \cdot 10^{-6}}} = 2\sqrt{0.5 \cdot 10^3} = 2\sqrt{500} = 2 \cdot 10\sqrt{5} \approx 20 \cdot 2.236 \approx 44.72 \text{ Ом}$
Ответ: Наименьшее значение активного сопротивления, при котором свободные колебания не возникнут, составляет примерно $44.72 \text{ Ом}$.