Номер 5.66, страница 113 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.66, страница 113.

Условие.

5.66* Через какую долю периода после подключения заряженного конденсатора к катушке индуктивности энергия в контуре распределится между конденсатором и катушкой поровну?

Решение.

Дано:

Идеальный колебательный контур (LC-контур).

В начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен.

В момент времени $\text{t}$ энергии на конденсаторе и катушке равны: $W_C(t) = W_L(t)$.

Найти:

Долю периода $\frac{t}{T}$, через которую наступит это событие.

Решение:

Полная электромагнитная энергия в идеальном LC-контуре сохраняется. В начальный момент времени $t=0$, когда конденсатор полностью заряжен (заряд $Q_{max}$), а ток в катушке равен нулю, вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора:

$W_{полная} = W_{C,max} = \frac{Q_{max}^2}{2C}$

В произвольный момент времени $\text{t}$ полная энергия равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_C(t)$ и энергии магнитного поля катушки $W_L(t)$:

$W_{полная} = W_C(t) + W_L(t)$

Согласно условию задачи, мы ищем момент времени, когда энергия распределяется поровну:

$W_C(t) = W_L(t)$

Подставим это условие в закон сохранения энергии:

$W_{полная} = W_C(t) + W_C(t) = 2W_C(t)$

Отсюда следует, что в искомый момент времени энергия на конденсаторе составляет половину от максимальной (полной) энергии:

$W_C(t) = \frac{W_{полная}}{2} = \frac{W_{C,max}}{2}$

Энергия конденсатора в момент времени $\text{t}$ выражается через его мгновенный заряд $q(t)$:

$W_C(t) = \frac{q(t)^2}{2C}$

Приравнивая два выражения для $W_C(t)$, получаем:

$\frac{q(t)^2}{2C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q_{max}^2}{2C}$

Упрощая это уравнение, находим мгновенное значение заряда:

$q(t)^2 = \frac{Q_{max}^2}{2}$

$q(t) = \pm \frac{Q_{max}}{\sqrt{2}}$

Заряд на обкладках конденсатора в LC-контуре изменяется со временем по гармоническому закону. Так как при $t=0$ конденсатор был заряжен максимально, закон изменения заряда имеет вид:

$q(t) = Q_{max} \cos(\omega t)$

где $\omega$ — циклическая частота свободных электромагнитных колебаний.

Теперь подставим это выражение в полученное ранее соотношение для заряда $q(t)$:

$Q_{max} \cos(\omega t) = \pm \frac{Q_{max}}{\sqrt{2}}$

Сократив на $Q_{max}$, получим:

$\cos(\omega t) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Мы ищем первую долю периода, то есть наименьшее положительное значение времени $\text{t}$. Это соответствует наименьшему положительному значению фазы $\omega t$. Наименьший положительный угол, для которого $\cos(\phi) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, равен $\phi = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно:

$\omega t = \frac{\pi}{4}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $\text{T}$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Подставим это выражение:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{4}$

Выразим искомую долю периода $\frac{t}{T}$:

$\frac{t}{T} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{8}$

Таким образом, впервые энергия распределится поровну через $1/8$ периода после начала колебаний. В дальнейшем это будет происходить через каждые четверть периода, то есть в моменты времени, соответствующие долям периода $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}$ и т.д.

Ответ: Энергия в контуре распределится поровну между конденсатором и катушкой через долю периода, равную $1/8$.