Номер 5.65, страница 113 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.65, страница 113.

Условие.

5.65*. Амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности колебательного контура 0,1 А. На рисунке 5.12 представлен график зависимости энергии магнитного поля катушки от времени. Определите:

a) период и частоту колебаний;

б) индуктивность и ёмкость контура;

в) энергию электрического поля через 0,15 мс;

г) заряд конденсатора в тот момент, когда энергия электрического поля равна 20 мкДж.

Рис. 5.12

Решение.

Дано:

$I_m = 0.1$ А

Из графика:

$W_{M,max} = 40$ мкДж = $40 \cdot 10^{-6}$ Дж

$T_W = 0.2$ мс = $0.2 \cdot 10^{-3}$ с (период колебаний энергии)

$t = 0.15$ мс = $0.15 \cdot 10^{-3}$ с

$W_E' = 20$ мкДж = $20 \cdot 10^{-6}$ Дж

Найти:

a) $\text{T}$ - ?, $\nu$ - ?

б) $\text{L}$ - ?, $\text{C}$ - ?

в) $W_E(t)$ - ?

г) $\text{q}$ при $W_E = W_E'$ - ?

Решение:

а) период и частоту колебаний;

Энергия в колебательном контуре ($W_M$ и $W_E$) колеблется с удвоенной частотой по сравнению с колебаниями тока и заряда. Это происходит потому, что энергия пропорциональна квадрату колеблющейся величины (например, $i(t) = I_m \cos(\omega t)$, тогда $W_M(t) = \frac{Li^2(t)}{2} = \frac{LI_m^2 \cos^2(\omega t)}{2}$). Следовательно, период колебаний энергии $T_W$ в два раза меньше периода $\text{T}$ колебаний тока и заряда.

Из графика определяем период колебаний магнитной энергии. Одно полное колебание энергии (например, от одного минимума до следующего) на графике занимает время от $t_1 = 0.1$ мс до $t_2 = 0.3$ мс, то есть $T_W = t_2 - t_1 = 0.2$ мс.

Период колебаний тока и заряда в контуре:

$T = 2 \cdot T_W = 2 \cdot 0.2 \text{ мс} = 0.4 \text{ мс} = 4 \cdot 10^{-4}$ с.

Частота колебаний:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{4 \cdot 10^{-4} \text{ с}} = 0.25 \cdot 10^4 \text{ Гц} = 2500$ Гц.

Ответ: период колебаний $T=0.4$ мс, частота $\nu=2500$ Гц.

б) индуктивность и ёмкость контура;

Максимальная энергия магнитного поля в катушке определяется формулой $W_{M,max} = \frac{L I_m^2}{2}$. Из этой формулы выразим индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{2 W_{M,max}}{I_m^2}$.

Из графика $W_{M,max} = 40$ мкДж = $40 \cdot 10^{-6}$ Дж. Амплитуда силы тока дана в условии $I_m = 0.1$ А.

$L = \frac{2 \cdot 40 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{(0.1 \text{ А})^2} = \frac{80 \cdot 10^{-6}}{0.01} = 8000 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 8 \cdot 10^{-3}$ Гн = 8 мГн.

Период электромагнитных колебаний в контуре связан с индуктивностью и ёмкостью формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Выразим из неё ёмкость $\text{C}$:

$T^2 = 4\pi^2 L C \Rightarrow C = \frac{T^2}{4\pi^2 L}$.

Подставим известные значения:

$C = \frac{(4 \cdot 10^{-4} \text{ с})^2}{4\pi^2 \cdot 8 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}} = \frac{16 \cdot 10^{-8}}{32\pi^2 \cdot 10^{-3}} = \frac{1}{2\pi^2} \cdot 10^{-5} \text{ Ф} \approx \frac{1}{2 \cdot 9.87} \cdot 10^{-5} \text{ Ф} \approx 0.0507 \cdot 10^{-5} \text{ Ф} \approx 0.51 \cdot 10^{-6}$ Ф = 0.51 мкФ.

Ответ: индуктивность $L=8$ мГн, ёмкость $C \approx 0.51$ мкФ.

в) энергию электрического поля через 0,15 мс;

В идеальном колебательном контуре полная энергия $W_{полн}$ сохраняется и равна максимальной энергии магнитного поля (или электрического): $W_{полн} = W_{M,max} = 40$ мкДж.

В любой момент времени полная энергия равна сумме энергий магнитного и электрического полей: $W_{полн} = W_M(t) + W_E(t)$.

Отсюда энергия электрического поля $W_E(t) = W_{полн} - W_M(t)$.

Из графика находим значение энергии магнитного поля в момент времени $t = 0.15$ мс. В этот момент $W_M$ достигает своего максимального значения: $W_M(0.15 \text{ мс}) = 40$ мкДж.

Тогда энергия электрического поля в этот момент времени равна:

$W_E(0.15 \text{ мс}) = 40 \text{ мкДж} - 40 \text{ мкДж} = 0$ Дж.

Ответ: энергия электрического поля равна 0 Дж.

г) заряд конденсатора в тот момент, когда энергия электрического поля равна 20 мкДж.

Энергия электрического поля конденсатора связана с его зарядом и ёмкостью формулой $W_E = \frac{q^2}{2C}$.

Выразим из этой формулы заряд $\text{q}$:

$q = \sqrt{2 C W_E'}$.

Подставим значения $C \approx 0.507 \cdot 10^{-6}$ Ф и $W_E' = 20$ мкДж = $20 \cdot 10^{-6}$ Дж:

$q = \sqrt{2 \cdot 0.507 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 20 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}} = \sqrt{20.28 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2} \approx 4.5 \cdot 10^{-6}$ Кл = 4.5 мкКл.

Ответ: заряд конденсатора $q \approx 4.5$ мкКл.