Номер 5.67, страница 113 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.67, страница 113.

Условие.

5.67*. При каком значении напряжения на конденсаторе колебательного контура (в долях амплитудного значения $U_m$) и через сколько времени (в долях периода $\text{T}$) энергия электрического поля будет в $\text{n}$ раз отличаться от энергии магнитного поля? Решите задачу для $\text{n}$, равного:

a) 1;

б) 3.

Решение.

Дано:

Идеальный колебательный контур

$U_m$ — амплитудное значение напряжения на конденсаторе

$\text{T}$ — период электромагнитных колебаний

$W_Э$ — энергия электрического поля

$W_М$ — энергия магнитного поля

Найти:

$u/U_m$ — ?

$t/T$ — ?

Решение:

Полная энергия в идеальном колебательном контуре сохраняется и равна сумме энергий электрического и магнитного полей:

$W = W_Э + W_М = const$

Полная энергия также равна максимальной энергии электрического поля (когда энергия магнитного поля равна нулю):

$W = W_{Э,max} = \frac{C U_m^2}{2}$

Мгновенное значение энергии электрического поля связано с мгновенным напряжением $\text{u}$ на конденсаторе:

$W_Э = \frac{C u^2}{2}$

Напряжение на конденсаторе изменяется со временем по гармоническому закону. Если в момент $t=0$ конденсатор полностью заряжен, то:

$u(t) = U_m \cos(\omega t) = U_m \cos(\frac{2\pi}{T}t)$

Условие, что энергия электрического поля в $\text{n}$ раз отличается от энергии магнитного поля, означает, что возможны два случая:

1. $W_Э = n W_М$

2. $W_М = n W_Э$

Рассмотрим оба случая в общем виде.

Случай 1: $W_Э = n W_М$

Подставим это в закон сохранения энергии: $W = W_Э + W_Э/n = W_Э \frac{n+1}{n}$.

Отсюда $W_Э = W \frac{n}{n+1}$. Подставим выражения для энергий:

$\frac{C u^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2} \cdot \frac{n}{n+1}$

Сокращая, получаем: $u^2 = U_m^2 \frac{n}{n+1}$, откуда находим искомое отношение напряжений:

$\frac{u}{U_m} = \pm \sqrt{\frac{n}{n+1}}$

Для нахождения времени подставим $u(t)$:

$U_m \cos(\frac{2\pi}{T}t) = \pm U_m \sqrt{\frac{n}{n+1}} \implies \cos(\frac{2\pi}{T}t) = \pm \sqrt{\frac{n}{n+1}}$

Наименьшее положительное время $\text{t}$ (при $t > 0$) соответствует $\frac{2\pi}{T}t = \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)$.

$\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi} \arccos\left(\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)$

Случай 2: $W_М = n W_Э$

Подставим это в закон сохранения энергии: $W = W_Э + W_М = W_Э + n W_Э = (n+1)W_Э$.

Отсюда $W_Э = \frac{W}{n+1}$. Подставим выражения для энергий:

$\frac{C u^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2} \cdot \frac{1}{n+1}$

Сокращая, получаем: $u^2 = \frac{U_m^2}{n+1}$, откуда находим отношение напряжений:

$\frac{u}{U_m} = \pm \frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Для нахождения времени подставим $u(t)$:

$U_m \cos(\frac{2\pi}{T}t) = \pm \frac{U_m}{\sqrt{n+1}} \implies \cos(\frac{2\pi}{T}t) = \pm \frac{1}{\sqrt{n+1}}$

Наименьшее положительное время $\text{t}$ соответствует $\frac{2\pi}{T}t = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$.

$\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi} \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$

Теперь применим полученные общие формулы к конкретным значениям $\text{n}$.

а) При $n=1$ условие $W_Э = W_М$. В этом случае оба рассмотренных общих случая приводят к одному и тому же результату. Воспользуемся формулами для случая 2:

Напряжение: $\frac{u}{U_m} = \pm \frac{1}{\sqrt{1+1}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Время: $\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi} \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{8}$.

Ответ: Напряжение $u = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} U_m$, время $t = \frac{T}{8}$.

б) При $n=3$ необходимо рассмотреть оба варианта, так как они приводят к разным результатам.

Случай 1: $W_Э = 3 W_М$.

Напряжение: $\frac{u}{U_m} = \pm \sqrt{\frac{3}{3+1}} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Время: $\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi} \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{12}$.

Случай 2: $W_М = 3 W_Э$.

Напряжение: $\frac{u}{U_m} = \pm \frac{1}{\sqrt{3+1}} = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Время: $\frac{t}{T} = \frac{1}{2\pi} \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: Задача имеет два возможных решения: первое — напряжение $u = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} U_m$ через время $t = \frac{T}{12}$; второе — напряжение $u = \pm \frac{1}{2} U_m$ через время $t = \frac{T}{6}$.