Номер 5.64, страница 113 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Превращение энергии в колебательном контуре - номер 5.64, страница 113.

Условие.

5.64*. Амплитудное значение напряжения на обкладках конденсатора колебательного контура 100 В. На рисунке 5.11 представлен график зависимости энергии электрического поля конденсатора от времени. Определите:

а) период и частоту колебаний;

б) индуктивность и ёмкость контура;

в) энергию магнитного поля через 0,15 мс;

г) силу тока в контуре в тот момент, когда энергия электрического поля равна 20 мДж.

Рис. 5.11

Решение.

Дано:

Амплитудное значение напряжения $U_m = 100$ В

По графику зависимости энергии электрического поля от времени (Рис. 5.11):

Максимальная энергия электрического поля $W_{э,max} = 40$ мДж

Период колебаний энергии $T_W = 0,1$ мс

Рассматриваемый момент времени $t_1 = 0,15$ мс

Значение энергии электрического поля $W_{э1} = 20$ мДж

Перевод в систему СИ:

$W_{э,max} = 40 \cdot 10^{-3}$ Дж

$T_W = 0,1 \cdot 10^{-3}$ с

$t_1 = 0,15 \cdot 10^{-3}$ с

$W_{э1} = 20 \cdot 10^{-3}$ Дж

Найти:

а) Период $\text{T}$ и частоту $\nu$ колебаний;

б) Индуктивность $\text{L}$ и ёмкость $\text{C}$ контура;

в) Энергию магнитного поля $W_м$ в момент времени $t_1 = 0,15$ мс;

г) Силу тока $\text{I}$ в контуре, когда энергия электрического поля $W_э = 20$ мДж.

Решение:

а) период и частоту колебаний

Энергия электрического поля $W_э = \frac{q^2}{2C} = \frac{(q_m \cos(\omega t))^2}{2C}$ и энергия магнитного поля $W_м = \frac{LI^2}{2} = \frac{L(-q_m \omega \sin(\omega t))^2}{2}$ колеблются с удвоенной частотой ($2\omega$) по сравнению с колебаниями заряда, напряжения и тока (частота $\omega$). Следовательно, период колебаний энергии $T_W$ в два раза меньше периода электромагнитных колебаний $\text{T}$.

Из графика видно, что один полный цикл колебаний энергии (например, от одного максимума до следующего) занимает $T_W = 0,2 \text{ мс} - 0,1 \text{ мс} = 0,1$ мс.

Тогда период электромагнитных колебаний в контуре равен:

$T = 2 T_W = 2 \cdot 0,1 \text{ мс} = 0,2$ мс = $2 \cdot 10^{-4}$ с.

Частота колебаний определяется как величина, обратная периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \cdot 10^{-4} \text{ с}} = 0,5 \cdot 10^4$ Гц = 5000 Гц = 5 кГц.

Ответ: Период колебаний $T = 0,2$ мс; частота колебаний $\nu = 5$ кГц.

б) индуктивность и ёмкость контура

Максимальная энергия электрического поля конденсатора, которая также является полной энергией контура, связана с ёмкостью $\text{C}$ и амплитудой напряжения $U_m$ соотношением:

$W_{э,max} = \frac{C U_m^2}{2}$

Отсюда находим ёмкость конденсатора:

$C = \frac{2 W_{э,max}}{U_m^2} = \frac{2 \cdot 40 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{(100 \text{ В})^2} = \frac{80 \cdot 10^{-3}}{10000} = 8 \cdot 10^{-6}$ Ф = 8 мкФ.

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Возводя обе части в квадрат, выражаем индуктивность $\text{L}$:

$T^2 = 4\pi^2 LC \implies L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$

Подставляем известные значения:

$L = \frac{(2 \cdot 10^{-4} \text{ с})^2}{4\pi^2 \cdot 8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{4 \cdot 10^{-8}}{32\pi^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{10^{-2}}{8\pi^2}$ Гн.

Используя $\pi \approx 3,14$, получаем $\pi^2 \approx 9,87$.

$L \approx \frac{10^{-2}}{8 \cdot 9,87} \approx \frac{10^{-2}}{78,96} \approx 0,0001266$ Гн $\approx 0,127$ мГн.

Ответ: Индуктивность $L \approx 0,127$ мГн; ёмкость $C = 8$ мкФ.

в) энергию магнитного поля через 0,15 мс

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_э$ и энергии магнитного поля катушки $W_м$:

$W_{полная} = W_э(t) + W_м(t) = const$

Полная энергия равна максимальному значению энергии электрического поля: $W_{полная} = W_{э,max} = 40$ мДж.

Из графика находим значение энергии электрического поля в момент времени $t_1 = 0,15$ мс. В этой точке $W_э(t_1) = 0$.

Следовательно, энергия магнитного поля в этот момент времени будет равна полной энергии контура:

$W_м(t_1) = W_{полная} - W_э(t_1) = 40 \text{ мДж} - 0 = 40$ мДж.

Ответ: Энергия магнитного поля $W_м = 40$ мДж.

г) силу тока в контуре в тот момент, когда энергия электрического поля равна 20 мДж

Используем закон сохранения энергии. Когда энергия электрического поля $W_э = 20$ мДж, энергия магнитного поля равна:

$W_м = W_{полная} - W_э = 40 \text{ мДж} - 20 \text{ мДж} = 20$ мДж = $20 \cdot 10^{-3}$ Дж.

Энергия магнитного поля катушки связана с силой тока $\text{I}$ и индуктивностью $\text{L}$ формулой:

$W_м = \frac{LI^2}{2}$

Выражаем отсюда силу тока $\text{I}$ (подразумевается её мгновенное значение по модулю):

$I = \sqrt{\frac{2 W_м}{L}}$

Подставляем численные значения:

$I = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{0,127 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}}} \approx \sqrt{\frac{40}{0,127}} \approx \sqrt{314,96} \approx 17,75$ А.

Ответ: Сила тока $I \approx 17,75$ А.